求值域的方法

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1、研究課題：例析求函數(shù)值域的方法求函數(shù)的值域常和求函數(shù)的最值問題緊密相關(guān)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，雖然沒有固定的方法和模式，但常用的方法有：1、直接法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍。例1：求函數(shù)的值域。解：∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椤?、配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例2：求函數(shù)（）的值域。解：，∵，∴，∴∴，∴∴函數(shù)（）的值域?yàn)椤?、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。例3：求函數(shù)的值域

2、。解：由解得，∵，∴，∴∴函數(shù)的值域?yàn)椤?、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例4：求函數(shù)的值域。3解：∵，∵，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椤?、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，獎(jiǎng)所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、、、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。例5：求函數(shù)的值域。解：令（），則，∴∵當(dāng)，即時(shí)，，無最小值?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)椤?、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時(shí)為零

3、）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例6：求函數(shù)的值域。解：由變形得，當(dāng)時(shí)，此方程無解；當(dāng)時(shí)，∵，∴，解得，又，∴3∴函數(shù)的值域?yàn)?、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例7：求函數(shù)的值域。解：∵當(dāng)增大時(shí)，隨的增大而減少，隨的增大而增大，∴函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椤?、利用有界性：利用某些函數(shù)有界性求得原函數(shù)的值域。例8：求函數(shù)的值域。解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)函數(shù)進(jìn)行變形可得，∵，∴（，），∴，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?、圖像法

4、（數(shù)型結(jié)合法）：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。例9：求函數(shù)的值域。解：∵，∴的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)的值域?yàn)橐陨鲜俏覀儗W(xué)習(xí)函數(shù)之后，關(guān)于求函數(shù)值域的一些方法，隨著以后學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，我們還會(huì)學(xué)到其它的一些有關(guān)求函數(shù)值域的方法。3