求函數(shù)值域的基本方法

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1、求函數(shù)值域的基本方法作者姓名：梁灝工作單位：重慶市科能高級(jí)技工學(xué)校通訊地址：重慶市沙坪壩區(qū)上橋，重慶市科能高級(jí)技工學(xué)校郵政編碼：400037電子郵箱：LH5136@163.com聯(lián)系電話：1361833560918983375136摘要：本文通過例題歸納出了求函數(shù)值域的幾種方法，對(duì)有些題目還進(jìn)行了一題多解，對(duì)教師教學(xué)水平和學(xué)生解題能力的提高有一定幫助。關(guān)鍵詞：函數(shù)、值域、方法通常把函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做函數(shù)的三要素。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材對(duì)求函數(shù)的定義域的方法介紹比較多，而對(duì)如何求函數(shù)的值域涉及較少。本文擬就先通過介紹函數(shù)定義域、值域的概念以及常見基本函數(shù)的值域，然后

2、通過例題歸納出求函數(shù)值域的幾種方法。一、函數(shù)定義域和值域的概念在函數(shù)中，，則自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。二、幾種常見基本函數(shù)的值域一般說來，函數(shù)的值域受其定義域的制約，幾種常見的基本函數(shù)的值域如下：1、的值域是。2、的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)椤?、的值域是。4、的值域是。5、的值域是。6、的值域是；的值域是。三、求函數(shù)值域的基本方法1、觀察法有些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以根據(jù)其解析式的特征通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)直接觀察出函數(shù)的值域。例1．求函數(shù)的值域。7解：。2、配方法配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，形如

3、的函數(shù)的值域問題，均可以使用配方法，借助二次函數(shù)的性質(zhì)求得值域。在解題過程中，要特別注意自變量的取值范圍。例2．求函數(shù)的值域。解：由得函數(shù)的定義域?yàn)椤?、分離常數(shù)法分離常數(shù)法適合于求分式函數(shù)的值域問題，思路是用分母表示分子，分離出常數(shù)，使分子不含變量，再借助基本函數(shù)的值域求解。例3．求函數(shù)的值域。解：。例4．求函數(shù)的值域。解：。4、判別式法此方法是把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，通過方程有實(shí)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域。形如7的函數(shù)的值域常用此法求得。運(yùn)用該法求值域的前提是“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”且分子、分母沒有公因式以及函數(shù)定義域?yàn)?。?．求函數(shù)的值域（即用判別式法解例4

4、）。解：由得由于，。5、反函數(shù)法（反解法）將看做自變量，利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域互逆的關(guān)系或基本函數(shù)的值域，可求得原函數(shù)的值域。例6．求函數(shù)的值域。解：由可得。例7．求函數(shù)的值域。解：由可得。例8．求函數(shù)的值域。7解：由可得。6、換元法換元法就是運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。對(duì)于含有結(jié)構(gòu)的函數(shù)可用代數(shù)代換，令且，使之變形為二次函數(shù)，再利用配方法；對(duì)于含有結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可用三角代換，令，或令。例9．求函數(shù)的值域。解：令則且，。例10．求函數(shù)的值域。解：令，則。7、不等式法利用基本不等式。7用不等式法求值域時(shí)，要注意

5、條件“一正、二定、三相等”，即：（1）；（2）；（3）取等號(hào)的條件。例11．求函數(shù)的值域。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).。例12．求函數(shù)的值域。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，。注：例11、例12也可用判別式法求解。8、單調(diào)性法通過確定函數(shù)在定義域（或定義域的某個(gè)子集上）的單調(diào)性來求出函數(shù)值域的方法稱為單調(diào)性法。對(duì)于函數(shù)，若同號(hào)則用單調(diào)性法求值域，若異號(hào)則利用換元法求值域。另外，還有在利用基本不等式求值域失效（即等號(hào)不滿足）的情況下，也可采用單調(diào)性法求值域，但必須要熟悉下述結(jié)論：函數(shù)。例13．求函數(shù)的值域（即用單調(diào)性法解例9）。7解：均為增函數(shù).在其定義域上單調(diào)增加，.。例14．求函

6、數(shù)的值域。解：此題不能使用不等式法（等號(hào)不能成立）.但是在時(shí)為增函數(shù).。9、數(shù)形結(jié)合法當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖像可以作出或利用函數(shù)所表示的幾何意義，就可借助數(shù)形結(jié)合法求出函數(shù)的值域。比如由平方和聯(lián)想到距離，由分式形式聯(lián)想到斜率等。例15．求函數(shù)的值域。解：表示數(shù)軸上的點(diǎn)到表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)與到表示實(shí)數(shù)6的點(diǎn)的距離之和..。例16．求函數(shù)的值域。解：∴表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，如圖1所示.由圖1可得出。7例17．求函數(shù)的值域。解：∴可以看作是單位圓外一點(diǎn)與單位圓上的點(diǎn)所連線段的斜率的2倍，如圖2所示.由圖2可得出設(shè)過點(diǎn)的直線方程為∵由圓心到切線的距離為1，∴令解得即∴

7、∴。通過以上各例，我們歸納出了求函數(shù)值域的幾種基本方法，也知道有些函數(shù)的值域可以用多種方法求解。希望本文對(duì)教師教學(xué)水平和學(xué)生解題能力的提高有一定幫助。參考資料：1、全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)》，人民教育出版社，2003年6月2、中等職業(yè)教育通用教材《數(shù)學(xué)》，西南交通大學(xué)出版社，2006年7月3、高中總復(fù)習(xí)全優(yōu)設(shè)計(jì)《數(shù)學(xué)（理科）：基礎(chǔ)過關(guān)版》，知識(shí)出版社，2006年5月7