空間夾角和距離

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1、空間夾角和距離一.課標(biāo)要求:　　1.能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離;　　2.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用?！　《?命題走向　　空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容,高考對(duì)本講的考察主要有以下情況:(1)空間的夾角;(2)空間的距離;(3)空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用?！　☆A(yù)測(cè)2007年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解,而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解,因此作為立體幾何的解答題,用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是

2、主要方法,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度?！　☆}型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察?！　∪?要點(diǎn)精講　　1.空間中各種角包括:異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角?！　?1)異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線,把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決?！　【唧w步驟如下:　?、倮枚x構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上;　?、谧C明作出的角即為所求的角;　?、劾萌切蝸砬蠼??！　?2)直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法?！　【唧w步驟

3、如下:　?、僬疫^斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線;　　②連結(jié)垂足和斜足,得出斜線在平面的射影,確定出所求的角;　?、郯言摻侵糜谌切沃杏?jì)算?！　∽?斜線和平面所成的角,是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角,即若θ為線面角,α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角,則有;　　(3)確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法:　?、傩本€上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上;　　②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上;如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等,那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上;　?、蹆蓚€(gè)平面相

4、互垂直,一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上;　?、芾媚承┨厥馊忮F的有關(guān)性質(zhì),確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置:　　a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等,那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心;　　b.如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等,那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心);　　c.如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直,那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心;　　(4)二面角的范圍在課本中沒有給出,一般是指,解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法　　①棱上一點(diǎn)雙垂線法:在

5、棱上任取一點(diǎn),過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線,這兩條射線所成的角,就是二面角的平面角;　　②面上一點(diǎn)三垂線法:自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線,再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足),斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角,即為二面角的平面角;　?、劭臻g一點(diǎn)垂面法:自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面,截二面角得兩條射線,這兩條射線所成的角就是二面角的平面角?！　⌒泵婷娣e和射影面積的關(guān)系公式:(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積

6、的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小?！　?.空間的距離　　(1)點(diǎn)到直線的距離:點(diǎn)P到直線的距離為點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng),常先找或作直線所在平面的垂線,得垂足為A,過A作的垂線,垂足為B連PB,則由三垂線定理可得線段PB即為點(diǎn)P到直線的距離。在直角三角形PAB中求出PB的長(zhǎng)即可。　　點(diǎn)到平面的距離:點(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)P到平面的垂線段的長(zhǎng).常用求法①作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng);②轉(zhuǎn)移法,如果平面的斜線上兩點(diǎn)A,B到斜足C的距離AB,AC的比為,則點(diǎn)A,B到平面的距離之比也為.特別地,AB=AC時(shí),點(diǎn)A,B到平面的距離相等;③體積法　　(2)異

7、面直線間的距離:異面直線間的距離為間的公垂線段的長(zhǎng).常有求法①先證線段AB為異面直線的公垂線段,然后求出AB的長(zhǎng)即可.②找或作出過且與平行的平面,則直線到平　　空間