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1、一、不變子空間的概念二、線性變換在不變子空間上的限制§7.7線性變換的定義三、不變子空間與線性變換的矩陣化簡四、線性空間的直和分解第七章線性變換§7.7不變子空間設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的的子空間，若有則稱W是的不變子空間，簡稱為－子空間.V的平凡子空間（V及零子空間）對(duì)于V的任意一個(gè)變換來說，都是－子空間.一、不變子空間1、定義注：§7.7不變子空間1）兩個(gè)?。涌臻g的交與和仍是?。涌臻g.2）設(shè) 則W是－子空間證：顯然成立.任取設(shè)則故W為的不變子空間.2、不變子空間的簡單性質(zhì)由于§7.7不變子空間1）線性變換的值域與核都是的不變子空間.證：有故 為的不變子空間.又任
2、取有3、一些重要不變子空間也為的不變子空間.§7.7不變子空間2）若 則與都是－子空間.證：對(duì) 存在使于是有，為的不變子空間.其次，由對(duì)有§7.7不變子空間于是故 為 的不變子空間.的多項(xiàng)式的值域與核都是的不變子空間.這里 為中任一多項(xiàng)式.注：§7.7不變子空間4）線性變換的特征子空間是的不變子空間.有5）由的特征向量生成的子空間是的不變子空間.證：設(shè)是 的分別屬于特征值的特征向量.3）任何子空間都是數(shù)乘變換 的不變子空間.任取設(shè)則為的不變子空間.§7.7不變子空間事實(shí)上，若則為 的一組基.因?yàn)閃為－子空間，即必存在 使是的特征向量.特別地，由 的一個(gè)特征向量生成的子空間是一個(gè)
3、一維－子空間.反過來，一個(gè)一維－子空間必可看成是 的一個(gè)特征向量生成的子空間.注：§7.7不變子空間二、在不變子空間W引起的線性變換定義：不變子空間W上的限制.記作在不變子空間W上引起的線性變換，或稱作 在設(shè) 是線性空間V的線性變換，W是V的一個(gè) 的不變子空間.把看作W上的一個(gè)線性變換，稱作§7.7不變子空間①當(dāng)時(shí)，③任一線性變換 在它核上引起的線性變換是零變換，即即有注：當(dāng)時(shí)，無意義.②在特征子空間上引起的線性變換是數(shù)乘變換，§7.7不變子空間1、設(shè) 是 維線性空間V的線性變換，W是V的－子空間，為W的一組基，把它擴(kuò)允為V的一組基：若在基下的矩陣為，則在基下的矩陣具有下列形狀:三、不變
4、子空間與線性變換的矩陣化簡§7.7不變子空間反之，若則由生成的子空間必為的不變子空間.事實(shí)上，因?yàn)閃是V的不變子空間.即，均可被線性表出.§7.7不變子空間從而，設(shè)§7.7不變子空間在這組基下的矩陣為若，則為V的一組基，且在這組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角陣2、設(shè)是維線性空間V的線性變換，都是的不變子空間，而 是的一組基，且（1）§7.7不變子空間的子空間為的不變子空間，且V具有直和分解：由此即得：下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角矩陣(1),則由 生成V的線性變換 在某組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形V可分解為一些 的不變子空間的直和.反之，若在基§7.7不變子空間定理12：設(shè)為線性空間V的線性變換，是四
5、、線性空間的直和分解是的特征多項(xiàng)式.若具有分解式：再設(shè)則 都是的不變子空間；且V具有直和分解：§7.7不變子空間證：令則是的值域，是的不變子空間.又（2）§7.7不變子空間下證 分三步：證明∴存在多項(xiàng)式使于是∴對(duì) 有證明 是直和.證明§7.7不變子空間這里§7.7不變子空間其中（也即， ），則∴存在 使于是(3)即證，若證明 是直和.§7.7不變子空間用作用（3）的兩端，得又§7.7不變子空間從而所以 是直和.∴有多項(xiàng)式，使§7.7不變子空間證明:首先由(2)，有即其次，任取 設(shè)即令§7.7不變子空間由（2）,有
6、從而有又又由，是直和，它的零向量分解式即唯一.§7.7不變子空間綜合 ，即有于是故即有是的不變子空間，且§7.7不變子空間練習(xí)：設(shè)3維線性空間V的線性變換 在基下的矩陣為證明：是 的不變子空間.證：令由§7.7不變子空間有§7.7不變子空間即故W為 的不變子空間.§7.7不變子空間
