四年級(jí)奧數(shù)——高斯求和

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1、第1講高斯求和　　德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？　　老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。　　1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為?。?+100）×100÷2＝5050。　　小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每

2、一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71；其中（1）是首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；　　由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1。末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。7/7對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列來說，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均

3、數(shù)，也等于首項(xiàng)和末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。即為中項(xiàng)定理【例題講解及思維拓展訓(xùn)練】例11＋2＋3＋…＋1999＝？【思維拓展訓(xùn)練一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？2、3＋7＋11＋…＋99＝？例2（2+4+6+……+2012）-（1+3+5+……+2011）【思維拓展訓(xùn)練二】1、（7+9+11+……+25）-（5+7+9+……+23）2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-607/7例3求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。【思維拓展訓(xùn)練三】1、求首項(xiàng)是34，公差是5的等差數(shù)列的前50項(xiàng)的和。例4求所有加6以后被11整除

4、的三位數(shù)的和【思維拓展訓(xùn)練四】1、100以內(nèi)所有加5后是6的倍數(shù)的數(shù)的和是多少？2、在1——400中，所有不是9的倍數(shù)的數(shù)的和是多少？7/71、求所有被7除余數(shù)是1的三位數(shù)的和？例5在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？【思維拓展訓(xùn)練五】1、盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓

5、球？例題6建筑工地有一批磚，碼成如下圖的形狀，最上層2塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比它上面一層多4塊磚，已知最下一層2106塊磚，問中間一層有多少塊磚？這堆磚共有多少塊？7/7【思維拓展訓(xùn)練六】1、求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。2、連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和為54，則以這九個(gè)自然數(shù)的末項(xiàng)作為首相的連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和是多少？【課堂鞏固訓(xùn)練題】　　1.計(jì)算下列各題：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的

6、等差數(shù)列的和。7/72.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。3.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？4.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？7、100個(gè)連續(xù)自然數(shù)（從小到大排列）的和是8450，取出其中第1個(gè)，第3個(gè)，…，第99個(gè)數(shù)，再把剩下的50個(gè)數(shù)相加，和是多少？8、把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么第1個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)各是多少？7/78、把27枚棋子放入7個(gè)不同的空盒中，如果要求每個(gè)盒子都不空，且任意兩個(gè)盒子

7、里的棋子數(shù)目都不一樣多，問能否辦到，若能，寫出具體方案，若不能，說明理由。7/7