線面垂直及面面垂直典型例題

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1、WORD文檔下載可編輯線面垂直與面面垂直基礎(chǔ)要點(diǎn)線面垂直面面垂直線線垂直、若直線與平面所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是（B）A、B、不一定平行于C、不平行于D、以上結(jié)論都不正確、在斜三棱柱,,又,過作⊥底面ABC，垂足為H，則H一定在（B）A、直線AC上B、直線AB上C、直線BC上D、△ABC的內(nèi)部、如圖示，平面⊥平面，與兩平面所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為，則（A）A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3、如圖示，直三棱柱中，,DC上有一動點(diǎn)P，則△周長的最小值是　　　　　5.已知長方體中，,若棱AB上存在點(diǎn)P，使得,則棱AD長的取值范圍是。題型一

2、：直線、平面垂直的應(yīng)用1.（2014，江蘇卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知.求證：(1)；(2).證明：(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯所以DE∥PA.又因?yàn)镻A?平面DEF，DEì平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF＝E，ACì平面A

3、BC，EFì平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DEì平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2.(2014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面.證明：（1）在三棱柱中，.(2)取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G、分別為、的中點(diǎn),,,則四邊形為平行四邊形，.3．如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面．求證．分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．．證明：在平面內(nèi)作，交于．因?yàn)槠矫嫫矫嬗趯I(yè)技術(shù)資料分享W

4、ORD文檔下載可編輯，平面，且，所以．又因?yàn)槠矫?，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因?yàn)槠矫妫裕f明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直．4.　過點(diǎn)引三條不共面的直線、、，如圖，，，若截取(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離．分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線．(1)證明：∵，又，∴和都是等邊三角形，∴，取的中點(diǎn)，連結(jié)，∴．在中，，∴，，∴，∴．在中，∴，，，∴，∴，∴平面．∵平面，∴平面平面．或：∵，∴頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心

5、，又為，∴在斜邊上，又為等腰直角三角形，∴為的中點(diǎn)，∴平面．∵平面，∴平面平面．(2)解：由前所證：，，∴平面，∴的長即為點(diǎn)到平面的距離，，專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯∴點(diǎn)到平面的距離為．、如圖示，ABCD為長方形，SA垂直于ABCD所在平面，過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G，求證：AE⊥SB,AG⊥SD6.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為的菱形，，M是PB中點(diǎn)。(1)求證：PACD(2)求證：平面PAB平面CDM7.在多面體ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE/

6、/CD。(1)求證：AE//平面BCD；(2)求證：平面BED平面BCD題型二、空間角的問題1.如圖示，在正四棱柱中，專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯，E為上使的點(diǎn)，平面交于F，交的延長線于G，求：（1）異面直線AD與所成的角的大?。?）二面角的正弦值2.如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大?。治觯菏紫雀鶕?jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解．解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，．再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影．由三垂線定理的逆

7、定理，，為二面角的平面角．設(shè)，在中，,在△中，,專業(yè)技術(shù)資料分享WORD文檔下載可編輯是銳角，,即二面角等于．說明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線．3.　正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)．求二面角的大?。治觯呵蠖娼顷P(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個(gè)平面角一