空間直角坐標系

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1、4.3空間直角坐標系重點難點教學重點：在空間直角坐標系中確定點的坐標.教學難點：通過建立適當的直角坐標系確定空間點的坐標,以及相關應用.新知探究:①在初中,我們學過數軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.決定數軸的因素有原點、正方向和單位長度.這是數軸的三要素.數軸上的點可用與這個點對應的實數x來表示.②在初中,我們學過平面直角坐標系,平面直角坐標系是以一點為原點O,過原點O分別作兩條互相垂直的數軸Ox和Oy,xOy稱平面直角坐標系,平面直角坐標系具有以下特征：兩條數軸：①互相垂直;②原點重合;③通常取向右、向上為正方向;④單位長度一般取相同的.平面直角坐標系上

2、的點用它對應的橫、縱坐標表示,括號里橫坐標寫在縱坐標的前面,它們是一對有序實數(x,y).③在空間,我們也可以類比平面直角坐標系建立一個坐標系,即空間直角坐標系,空間中的任意一點也可用對應的有序實數組表示出來.④觀察圖2,OABC—D′A′B′C′是單位正方體,我們類比平面直角坐標系的建立來建立一個坐標系即空間直角坐標系,以O為原點,分別以射線OA,OC,OD′的方向為正方向,以線段OA,OC,OD′的長為單位長度,建立三條數軸Ox,Oy,Oz稱為x軸、y軸和z軸,這時我們說建立了一個空間直角坐標系O—xyz,其中O叫坐標原點,x軸、y軸和z軸叫坐標軸.如果我們把

3、通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面,我們又得到三個坐標平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我們知道,確定空間直角坐標系必須有三個要素,即原點、坐標軸方向、單位長.圖1圖1表示的空間直角坐標系也可以用右手來確定.用右手握住z軸,當右手的四個手指從x軸正向以90°的角度轉向y軸的正向時,大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標系為右手直角坐標系.如無特別說明,我們課本上建立的坐標系都是右手直角坐標系.注意:在平面上畫空間直角坐標系O—xyz時,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.即用斜二測畫法畫立體圖,這里顯然要注意在y軸和z軸上的都取原來的長度,而

4、在x軸上的長度取原來長度的一半.同學們往往把在x軸上的長度取原來的長度,這就不符和斜二測畫法的約定,直觀性差.⑤觀察圖2,建立了空間直角坐標系以后,空間中任意一點M就可以用坐標來表示了.已知M為空間一點.過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸和z軸的交點分別為P、Q、R,這三點在x軸、y軸和z軸上的坐標分別為x,y,z.于是空間的一點M就唯一確定了一個有序數組x,y,z.這組數x,y,z就叫做點M的坐標,并依次稱x,y,z為點M的橫坐標.縱坐標和豎坐標.坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).圖2反過來,一個有序數組x,y,z,我們在

5、x軸上取坐標為x的點P,在y軸上取坐標為y的點Q,在z軸上取坐標為z的點R,然后通過P、Q與R分別作x軸、y軸和z軸的垂直平面.這三個垂直平面的交點M即為以有序數組x,y,z為坐標的點.數x,y,z就叫做點M的坐標,并依次稱x,y和z為點M的橫坐標、縱坐標和豎坐標.(如圖2所示)坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).我們通過這樣的方法在空間直角坐標系內建立了空間的點M和有序數組x,y,z之間的一一對應關系.注意：坐標面上和坐標軸上的點,其坐標各有一定的特征.如果點M在yOz平面上,則x=0；同樣,zOx面上的點,y=0；xOy面上的點,z=0；如果點M在

6、x軸上,則y=z=0；如果點M在y軸上,則x=z=0；如果點M在z軸上,則x=y=0；如果M是原點,則x=y=z=0.思路1例1如圖3,長方體OABC—D′A′B′C′中,

7、OA

8、=3,

9、OC

10、=4,

11、OD′

12、=2,寫出D′,C,A′,B′四點的坐標.圖3活動：學生閱讀題目,對照剛學的知識,先思考,再討論交流,教師適時指導,要寫出點的坐標,首先要確定點的位置,再根據各自坐標的含義和特點寫出.D′在z軸上,因此它的橫縱坐標都為0,C在y軸上,因此它的橫豎坐標都為0,A′為在zOx面上的點,y=0；B′不在坐標面上,三個坐標都要求.解:D′在z軸上,而

13、OD′

14、=2,

15、因此它的豎坐標為2,橫縱坐標都為0,因此D′的坐標是(0,0,2).同理C的坐標為(0,4,0).A′在xOz平面上,縱坐標為0,A′的橫坐標就是

16、OA

17、=3,A′的豎坐標就是

18、OD′

19、=2,所以A′的坐標就是(3,0,2).點B′在xOy平面上的射影是點B,因此它的橫坐標x與縱坐標y同點B的橫坐標x與縱坐標y相同,在xOy平面上,點B的橫坐標x=3,縱坐標y=4;點B′在z軸上的射影是點D′,它的豎坐標與D′的豎坐標相同,點D′的豎坐標z=2,所以點B′的坐標是(3,4,2).點評:能準確地確定空間任意一點的直角坐標是利用空間直角坐標系的基礎,一定掌握如下方法,

20、過點M作三