分?jǐn)?shù)階泰勒公式及其應(yīng)用

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1、分?jǐn)?shù)階泰勒公式及其應(yīng)用摘要：本文中提出了一種新的廣義泰勒公式，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)義又稱為Grunann-Liouville定義是Grunann-Liouville定義的思維方式相似，Caputo定義也是對Grunula,fractionalderivativemeaningisalsoknoann-LiouvilledefinitionisextendedthedefinitionofGrunoreextensive.AndtheGrunilarRiemann-Liouvilledefinedprovement.Fornonintegerorderderivativefunct

2、ion,advancedroula;Riemann-Liouville1引言泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的內(nèi)容，借助與它我們可以把一些很復(fù)雜的函數(shù)表示為一些簡化的多項(xiàng)式函數(shù)，我們就達(dá)到了把復(fù)雜問題變得簡單，正因?yàn)槿绱颂├展街饾u成為研究和推導(dǎo)其他相關(guān)數(shù)學(xué)問題的有力工具。通過收集閱讀大量的參考資料，又進(jìn)一步通過自己進(jìn)行了一些運(yùn)算和證明，最后我又對這些應(yīng)用型的方法作了比較詳細(xì)的歸類,歸納和總結(jié)。分?jǐn)?shù)階微積分的研究至今,前后經(jīng)歷了三百多年，但是前期的相關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的研究主要體現(xiàn)在理論數(shù)學(xué)方面，那么在接下來的很長一段時間內(nèi)，由于數(shù)學(xué)問題本身復(fù)雜性,致使分?jǐn)?shù)階微積分的進(jìn)一步

3、研究受到限制,一部分原因是沒有得到科學(xué)研究人員的關(guān)注，基本上沒有與之相關(guān)的論文發(fā)表，之后分?jǐn)?shù)階微積分的研究熱潮是在二十世紀(jì)七十年代，分形幾何的發(fā)現(xiàn)又使人們對此投以更大熱情,后來研究人員發(fā)現(xiàn)冪律現(xiàn)象與記憶過程可以與分?jǐn)?shù)階微積分建立緊密的聯(lián)系，這一重大發(fā)現(xiàn)使得分?jǐn)?shù)階微積分可以作為一種特殊的描述和刻畫工具。得到人們的青睞。2泰勒公式及其應(yīng)用，推導(dǎo)過程英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒于1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡出生，1701年泰勒進(jìn)入劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。1709年后移居，獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。1712年當(dāng)選為英國皇家協(xié)會會員，同一年因其卓越的表現(xiàn)進(jìn)

4、入了牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭論的委員會。并在兩年后再度獲得法學(xué)博士學(xué)位。在1714年成為英國皇家學(xué)會第一秘書，1718年泰勒因病辭去這一職務(wù)，1717年，他用泰勒定理解出了著名的數(shù)值方程。隨后在1731年12月29日于倫敦病世。由于工作并考慮到身體健康的原因，在法國訪問期間他與法國數(shù)學(xué)家蒙莫爾多次通信并一起探討了級數(shù)問題和概率論相關(guān)一些問題。1708年，經(jīng)泰勒證明后得出了“振動中心問題”的解，成為數(shù)學(xué)界人們關(guān)注的焦點(diǎn)。隨后在1714到1719年短短五年時間內(nèi)，泰勒在數(shù)學(xué)上又取得了越來越多地成果，不斷為世人所知所熟悉。他的定理著名的“泰勒定理”已大量存在大學(xué)課本中

5、。數(shù)學(xué)教學(xué)中，泰勒公式是作為用函數(shù)在某一點(diǎn)的信息描述它附近取值變化情況的公式。如果這一函數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)能夠達(dá)到光滑這一條件的話，并且在已經(jīng)知道函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)取值的情況下，可以把各階導(dǎo)數(shù)值作為系數(shù)，利用泰勒公訴構(gòu)造一個多項(xiàng)式，來逐步逼近在某一點(diǎn)領(lǐng)域里的函數(shù)值。泰勒公式得名于英國著名數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒。并于1712年首次公開并敘述了這個公式的由來，盡管泰勒公式得特例早被詹姆斯?格雷高里論證過。3Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)微分方程變換法，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)本文是在Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的廣義Taylor公式的基礎(chǔ)上，建立了求解Rie

6、mann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程的微分變換方法。本文所建立的基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)微分方程變換法給求解Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程提供了一種新工具。3.1分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義1695年,法國的L’Hospital詢問Leibnitz:“當(dāng)在導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為分?jǐn)?shù)的情況下如何理解呢?”這次詢問剛好距離Leibniz發(fā)表他的首篇微積分論文1年，從當(dāng)時的情況來看它顯然是一個很難回答的問題。雖然如此Leibnitz還是在1695年9月30日給予了L’Hospital答復(fù)，在說完了一些似是而非的猜測以后，他寫道“你可以這樣看，分

7、數(shù)導(dǎo)數(shù)可以在兩個整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)之間引入某種插入法(interolation).這一點(diǎn)盡管也處于猜測中,但畢竟用現(xiàn)在的手段做到了,這封信曾經(jīng)在歷史上不僅僅是一次公開發(fā)表過.此后大致分為三個階段：(1)自L‘Hospital與Leibninz從1695年通信到1812年的一百多年的時間里,分?jǐn)?shù)微積分仍然只是作為純數(shù)學(xué)的一些討論和猜測．并無人給出正確的描述.(2)1812～1974年,這期間從逐漸提出分?jǐn)?shù)微積分有關(guān)概念,包括定義名詞,到給出確切定義和性質(zhì),雖然推導(dǎo)出來的數(shù)目有限,但在實(shí)際應(yīng)用方面還是得到了有效的驗(yàn)證.并于1974年出版了第一本