判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

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1、判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法一、定義法設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)定義域上任意的兩個(gè)數(shù)，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，則此函數(shù)為增函數(shù)；反知，若f(x1)＞f(x2)，則此函數(shù)為減函數(shù).【例1】證明：當(dāng)時(shí)，。證明：令所以，當(dāng)時(shí)，，所以為嚴(yán)格遞增的，所以。二、性質(zhì)法除了用基本初等函數(shù)的單調(diào)性之外，利用單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)也能簡(jiǎn)化解題.若函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間B上具有單調(diào)性，則在區(qū)間B上有：⑴f(x)與f(x)＋C（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性；⑵f(x)與c?f(x)當(dāng)c＞0具有相同的單調(diào)性，當(dāng)c＜0具有相反的單調(diào)性；

2、⑷當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)都是增(減)函數(shù)；⑸當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)?g(x)當(dāng)兩者都恒大于0時(shí)也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)也是減(增)函數(shù)；三、同增異減法是處理復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題的常用方法.對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]滿足“同增異減”法(應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域)，可令t＝g(x)，則三個(gè)函數(shù)y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同，則第三個(gè)函數(shù)為增函數(shù)；若有兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反，則第三個(gè)函數(shù)為減函數(shù).注：（1）奇函數(shù)在對(duì)

3、稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性；（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；（3）如果f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么f(x)在D的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù).設(shè)單調(diào)函數(shù)為外層函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù)(1)若增，增，則增.(2)若增，減，則減.(3)若減，減，則增.(4)若減，增，則減.例1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教學(xué)意圖：先讓學(xué)生學(xué)會(huì)找出外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)然后再進(jìn)一步教會(huì)學(xué)生如何求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此題當(dāng)中定義域是一切實(shí)數(shù)，在此處我還沒有讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到定義域的重要性，先讓學(xué)生初步掌握復(fù)合函

4、數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法.解題過程：外層函數(shù)：內(nèi)層函數(shù)：內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：由于外層函數(shù)為增函數(shù)所以，復(fù)合函數(shù)的增區(qū)間為：復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間為：四、求導(dǎo)法導(dǎo)數(shù)小于0就是遞減，大于0遞增，等于0，是拐點(diǎn)極值點(diǎn)求函數(shù)值域的常用方法1．觀察法用于簡(jiǎn)單的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞,1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函數(shù)。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x

5、-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3.換元法多用于復(fù)合型函數(shù)。通過換元，使高次函數(shù)低次化，分式函數(shù)整式化，無理函數(shù)有理化，超越函數(shù)代數(shù)以方便求值域。特別注意中間變量（新量）的變化范圍。y=-x+2√(x-1)+2令t=√(x-1),則t≤0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞,1].4.不等式法用不等式的基本性質(zhì)，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1),(01/(e-1),

6、y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5.最值法如果函數(shù)f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域?yàn)閇m,M].因此,求值域的方法與求最值的方法是相通的.6.反函數(shù)法有的又叫反解法.函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域互換.如果一個(gè)函數(shù)的值域不易求,而它的反函數(shù)的定義域易求.那么,我們通過求后者而得出前者.7.單調(diào)性法若f(x)在定義域[a,b]上是增函數(shù),則值域?yàn)閇f(a),f(b)].減函數(shù)則值域?yàn)閇f(b),f(a)].8.數(shù)形結(jié)合法利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖像

7、法求函數(shù)的值域.例1已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:說明:已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型,常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則;若函數(shù)單調(diào)遞減,則”來求解,注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略,否則漏解.類型題1:設(shè)函數(shù),其中,求的取值范圍,使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù).類型題2:函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.例2討論下列函數(shù)單調(diào)性（1）（2）類型題1:函數(shù)其中為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)是（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A、增函數(shù)B、減函數(shù)C、常數(shù)D、既不是增函

8、數(shù)也不是減函數(shù)類型題2:設(shè)函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；　　1.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是(??).　　A．??　　B．?????　　C．　　D．　　2．函數(shù)的增區(qū)間是（??）。　　A．?B．　　C．?D．　　3．在上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（?）?！　．?B．?C．?D．　　4．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)