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《特征值特征向量的應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、特征值特征向量的應(yīng)用1）求方陣的高次冪一般說，求矩陣的高次冪比較困難，但若矩陣J可以對角化，即存在可逆矩陣P使P~lAP=diag（K…，2"）=八.其中乂,又，…，人，是4的全部特征值.HA=PP~},則對任意正整數(shù)/:有Ak=（PAP_,/=（尸八/^尸八/^…尸八尸-^尸人…人所以可通過?}的相似對角陣來求/T。例1作為計算矩陣高次冪的一個實例，考察如下問題：設(shè)某城市共有30萬人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會調(diào)查表明：（1）在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè),6萬人經(jīng)商；（2）在從農(nóng)人員中，每年約有20%改為從工
2、，10%改為經(jīng)商；（3）在從工人員中，每年約有20%改為從農(nóng)，10%改為經(jīng)商；（4）在從商人員中，每年約有10%改為從農(nóng)，10%改為從工?，F(xiàn)欲預(yù)測一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢。解:若用3維向量V表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知=9，而欲求XX2并考察在n->->時妒的發(fā)展趨勢，引進(jìn)3階矩陣用以刻畫從事這三種職業(yè)人員間的轉(zhuǎn)移，例如:a23=0.1表明每年有10%'0.70.20.1"的從工人員改去經(jīng)商。于是有/）=0.20.70.1,由矩陣乘法得0.10.10.8<12.9、'11.73、X1=ata/Q=ax°=19.9
3、fX2=AX[=A2X°=10.237.2k8.04所以I。=4Xn-{=An要分析r'就要計算J的n次冪/T,可先將J對角化0.7-2即
4、A-2￡
5、=0.2().10.2OJ-A().10.10.1=(1-2)(0.7-A)(0.5-A)().8-/I特征值為4=1,A2=0.7,A3=0.5'100'可知11->^>時，將趨于000，故知將趨于Q00010000000Q_I,因而J"將0分別求出對應(yīng)的特征向量qpq2,q3并令Q=[q,,q2,q3],則存"100'100_從而有/I"二QBQ，再由尸=AflX%00.7000.7”0000.5000.5”趙于一確定常量/次
6、，因而J"一1亦必趨于X,由JM=A￥"―1知私必滿足X^AX^故權(quán)是矩陣J屬于特征值冬=1的特征向量，X=1t=tn=3=30,t=10,照次規(guī)律轉(zhuǎn)移，多年之后，從事這三種職業(yè)的人數(shù)將趨于相等,均為10萬人。2求方陣A的多項式的行列式的值設(shè)h階方陣4可對角化，即存在可逆矩陣P使其中八，為，…，人），A,，岑，…，是A的全部特征值.因此對方陣A的多項式f(A)=amAmH-axA--a^E,有即
7、，⑷卜+…W+“0￡
8、二
9、P(amMn+…+屮八+a,E)P~x=anAm+…+乂A+“?！?/p>
10、=/(??，/(4))1例1設(shè)n階實對稱矩陣d滿足d2且的秩為r,試求行列式的值。解
11、：設(shè)/JT=2XX0,是對應(yīng)于特征值/I的特征向量，因為/!2=A則從而有（乂2-乂）J=0,因為J關(guān)0所以Z（A-l）=0,即義二1或0,又因為/（是實對稱矩陣，所以/I相似于對角矩陣，的秩為r,故存在可逆、二B，其中盡是r階單位矩陣，從而
12、2￡-/1=2PP~'-PBP-'^E-B=2n~r3由特征值與特征向量反求矩陣若矩陣/I可對角化，即存在可逆矩陣P其中方為對角矩陣，則J:PBP例1設(shè)3階實對稱矩陣的特征值為乂=-1，22=岑=1，對應(yīng)于'的特征向量為/1,求矩陣兒lb解:因為/（是實對稱矩陣，所以/I可以對角化，即/!有三個線性無關(guān)的特征向量，ZA設(shè)對應(yīng)于A2=A3
13、=1的待征向量為片x2，它應(yīng)與待征向量,正交，即[AA]=OXi+X^X^O,該齊次方程組的基礎(chǔ)解系為戸2=0,Ar0'P3=1，它們即是對應(yīng)于A2=/l3=l的特征向量?！?10""-10o'取p^p'，p2，戶3)=101,B=01010-100I則PAbB，于是A^PBP110010-10001/21/21001010000-10101/2-1/20-10-1004判斷矩陣是否相似例1下述矩陣是否相似'200"?210_"2or1=020,A2=0213=020003003003解：矩陣J2,J3的特征值都是A,=2(二重)，A2=3,其中義己是對角陣，所以只需判斷/I2
14、，Z3是否可對角化先考查/I2,，對于特征值4=2，解齊次線性方程組(2￡-/I2)J=0得其基礎(chǔ)解系為af()，由于4=2是J2的二重特征值，卻只對應(yīng)于一個特征向量，故＞4A2不可對角化或者說/!2與/1,不相似。再考查/I3，對于特征值人=2,解齊次線性方程組(2￡-/I3,)J=0得基礎(chǔ)解系;對于特征值2=3解齊次線性方程組(3FJp)J=O,得基礎(chǔ)解系由于3，有三個線性無關(guān)的特征向量，所以3，可對角化，即3，與/I,相似。5求特殊矩陣的特征值例1設(shè)/I為階實對稱矩陣，且/I2=2A,
