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《初等數(shù)學(xué)解題研究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、第二章數(shù)學(xué)思想方法第一節(jié)猜證結(jié)合思想（1）授課內(nèi)容：1、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想方法；2、五種基本的數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)及形成；3、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)fuj題解決4、猜證結(jié)合思想：1.1基木觀點及解題策略；1.2證明推理與基木方法；（1）綜合法與分析法。重難點：1、猜證結(jié)合思想：1.1基本觀點及解題策略；1.2證明推理與基本方法；（1）綜合法與分析法。講授方法和手段、講授、討論，邊講邊練相結(jié)合。一、基本概念：1、數(shù)學(xué)思想：是數(shù)學(xué)的基本觀點，是對數(shù)學(xué)概念，原理、方法、發(fā)現(xiàn)法則的本質(zhì)的認(rèn)識。對于解題而言，數(shù)學(xué)思想就是解題策略
2、，它能溝通問題與知識及方法間的聯(lián)系，調(diào)節(jié)解題，是解題的指導(dǎo)思想，屬于策略性知識。2、數(shù)學(xué)方法：是為Y解決問題而采用的手段，步驟和程序，屬于過程性知識。由丁?數(shù)學(xué)思想常常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)方法的形成（即以數(shù)學(xué)方法的形式表現(xiàn)出來），所以通常把二者稱為：數(shù)學(xué)思想方法。3、五種基本的數(shù)學(xué)思想（中學(xué)數(shù)學(xué)思想）：在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，形成了許多重要的數(shù)學(xué)思想，如：公理化思想；符號化思想，極限思想，固本思想等，但在中學(xué)主要學(xué)習(xí)下面五種數(shù)學(xué)思想：中學(xué)五中主要數(shù)學(xué)思想：1、猜證結(jié)合思想；2、分類與分步思想；3、化歸思想；4、數(shù)形結(jié)合思想；5、
3、函數(shù)與議程思想。我們學(xué)＞』五種數(shù)學(xué)思想的H標(biāo)是：在頭腦中主動的建構(gòu)“五種數(shù)學(xué)思想系統(tǒng),使自己的數(shù)學(xué)思想方法達到“系統(tǒng)化”和“明確化”。二、第一節(jié)猜證結(jié)合思想1、推理的兩種形式：(1)似真推理：歸納人推理與類比推理叫似真推理。歸納推理：由個別的、特殊的結(jié)論，通過觀察、實驗分析，比較等手段，概括出一般性的結(jié)論。這種推理叫…。類比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫類比推理。由歸納推理或類比推理得到的結(jié)論不一定正確。/.叫似真推理。但，似真推理是創(chuàng)造性的邏輯推理。(2)證明推理：演繹推理叫證明推理，5卩：由一般原理
4、推出個別的，特殊的結(jié)論的推理方法。證明推理所得出的結(jié)論都是正確的。總結(jié)上面內(nèi)容我們得出：注兩種推理:(1)似真推理(數(shù)孕猜想):歸納:特殊到一般類比:特殊到特殊或者一般到一般(2)證明推理：演繹：一般到特殊2、猜證結(jié)合思想2.1基本觀點與解題策略(1)數(shù)學(xué)猜想：似真推理就叫數(shù)學(xué)猜想。我們的推理應(yīng)該結(jié)合猜想與證明兩種策略同吋進行?？坎孪肴グl(fā)現(xiàn)，靠證明去反駁或證實發(fā)現(xiàn)。這就是所謂的猜證結(jié)合思想。(2)猜證結(jié)合思想：在問題解決吋，要把猜想與證明兩種策略綜合運用，靠猜想去發(fā)現(xiàn)，靠證明去反駁或證實發(fā)現(xiàn)，使之互補優(yōu)缺，這種思
5、想叫猜證結(jié)合思想。F面用幾個例了?來說明猜證結(jié)合思想的應(yīng)用。例：橢圓4+4=1(6/〉/7〉0)的離心率e=A是左頂點，F(xiàn)是沿焦點,a~b~2B是短軸的一個端點，則ZABF=。(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°解：應(yīng)川猜證結(jié)合的思想：考察極端，在四個選中，90°是一個極端情形，先猜想ZABF=90°(于是只須證明：/^‘=-1即可)。7kAB^F=-^--)=-^^=---=e--=-.(注：橢圓。二三)acacacea???ZABF=90°,選C木題目如果用“證明方法”計算結(jié)果，是很麻煩的：解
6、：在AABF屮，由余弦定理得：cosZABF=+—/IF22ABBF(a2+/?2)+6Z2-(a+e)2_a2-ac-c22ayla2+b22a^la2+/?299a-ac-C2ay]a2+b2??222riC?Cl—CIC—C=Cl[1(—)]=a2(l—e—=a^[—75-1ZV5-1]=0aa...cosZABF=0...ZABF=90°.選c顯然用“證明”的方法做，計算量大，且思路容易受阻。而“猜證結(jié)合”則思路清晰，計算量小。例：定義在(一oo,+oo)上的偶函數(shù)f(X)滿足：/(x+l)=-/(x)
7、,且且在卜1,0j是增數(shù)，卜‘面關(guān)于/⑺的判斷正確的是,(1)f(x)是周期數(shù)函數(shù)；(2)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱；(3)f(x)在［0，1］上是增函數(shù)；(4)f(x)在［1，2］上是減函數(shù)；(5)f(x)=f(0).解：(考慮類比推理.?在我們學(xué)過的偶函數(shù)中，有那些函數(shù)滿足題FI的條件：=cosX)把f(x)矣比成COSX，把“1”類比成“?！?，顯然函數(shù)y=C0SJ滿足題目的全部已知：在［-n，0］增，且+W=而余弦函數(shù)y=cosX具有下列性質(zhì)：是以T=2ii的周期函數(shù)，①滿足關(guān)于直線x=n對稱，②滿足
8、在［一a，叫是增函數(shù)③不滿足在［n，2J：］是減函數(shù)④不滿足在cos2;r=cosO⑤滿足.?.通過類比①②⑤對.例：已知％=l,tz,,+1―-(n=l，2…)，求數(shù)列｛山｝的通項公式。A-4分析：用“猜證結(jié)合”證明.?7?解：當(dāng)"=1時，6Z,=1=3—；當(dāng)"=2時，6/，=—=3—；1-33132?當(dāng)n=3時，a=—=3-—猜想：a=3(ne/V).(第一步完55"
