初等數(shù)學(xué)解題研究最新版.doc

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1、初等數(shù)學(xué)解題研究西大附中戴宇時(shí)間：二〇一二年五月初等數(shù)學(xué)解題研究前言恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”這就是說，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的關(guān)系的一門學(xué)科，它是以解決客觀世界的事物的內(nèi)在邏輯聯(lián)系的“問題”為主要目的．在這個(gè)意義上來講，探索解決數(shù)學(xué)問題的解題規(guī)律及解題方法就是十分重要的．通過對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)的內(nèi)在基本結(jié)構(gòu)的分析和研究，從而順利地解決問題，對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)思維方式及解決問題的能力都有十分重要的意義．?dāng)?shù)學(xué)的內(nèi)容就是由一種形態(tài)與另一種形態(tài)的對(duì)比和關(guān)系的轉(zhuǎn)化．要解決好一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我認(rèn)

2、為首要的是要對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)要先有充分的認(rèn)識(shí)，再熟知一些推演關(guān)系的基本手段及方法．其次，要善于把問題的假設(shè)和結(jié)論溝通起來，借助已有的（盡可能多的）數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論，從而順利地解決問題．解決問題有“通法”和“巧技”，但我們一定要知道“巧”不是解題的大道，只是一條捷徑，而捷徑不是處處都有的．只有練好解題的基本功，則解題的捷徑也就不難找到．要掌握解題的通法，必須要知道一些數(shù)學(xué)形態(tài)的“通性”，即它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及這些結(jié)構(gòu)的邏輯聯(lián)系、演化規(guī)律．每一種典型的基本結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)形態(tài)中的作用以及處理它的一些常見的

3、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識(shí)．解題能力的大小，就是你擁有的這種數(shù)學(xué)知識(shí)的體現(xiàn)．它就像要給人治病，必須先了解人體的各部分組成的器官和構(gòu)成器官的細(xì)胞和它們的生命作用．只有這樣練好了基本功，就會(huì)得到解題的通法，找到處理數(shù)學(xué)問題的“大道”．這里還有一個(gè)數(shù)學(xué)能力的問題，具體點(diǎn)說，還有人通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的研究和學(xué)習(xí)得到處理數(shù)學(xué)問題的有效程度的大小和解題能力．能力是一種穩(wěn)定的個(gè)性心理特征，它影響人們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)能否順利完成；影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的效果．正如瑞典心理學(xué)家魏德林（I·Werdelin）指出的“數(shù)學(xué)能力是理解數(shù)學(xué)的問

4、題、符號(hào)、方法和證明的本質(zhì)的能力；是學(xué)會(huì)它，在記憶中保持和再現(xiàn)它們，在解數(shù)學(xué)（或類似的）課題時(shí)運(yùn)用它們的能力．”總之，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的分析，對(duì)各種基本結(jié)構(gòu)彼此關(guān)聯(lián)的本質(zhì)進(jìn)行探索，掌握好處理數(shù)學(xué)問題的一般的數(shù)學(xué)思維方式和方法，才能達(dá)到掌握解決問題的本領(lǐng)．把初等數(shù)學(xué)作為一個(gè)系統(tǒng)，用“結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)來進(jìn)行分析研究，就是本文的目的．所謂“結(jié)構(gòu)”，就是追根溯源，從一個(gè)科學(xué)體系的最基本的“細(xì)胞”開始研究，尋找其內(nèi)部的聯(lián)系和規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，使研究的方法、結(jié)果更具科學(xué)性和一般性．任何

5、一個(gè)科學(xué)體系的基本結(jié)構(gòu)，抽象為數(shù)學(xué)語言，就是我們所謂的“元”．（如心理學(xué)上的“原認(rèn)知”，物理學(xué)上的“基本粒子”，化學(xué)上的元素，生物學(xué)上的DNA等等．）一、簡化規(guī)則在數(shù)學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，對(duì)它進(jìn)行處理，有一個(gè)最基本的思想，那就是將這個(gè)數(shù)學(xué)問題簡單化，從而發(fā)掘出此問題的內(nèi)在的演化規(guī)律，以及它與已有的數(shù)學(xué)結(jié)論之間的聯(lián)系，從而達(dá)到使用最優(yōu)的邏輯演算和推理方法來解決問題，這就是人們通常說的簡單化原則．不管問題的形態(tài)多么復(fù)雜，但它都由一些基本結(jié)構(gòu)組成，就像一個(gè)生命體，它由各種各樣的細(xì)胞構(gòu)成，正是

6、這些細(xì)胞的相互關(guān)聯(lián)的生命運(yùn)動(dòng)，才使生命充滿了活力．要認(rèn)識(shí)生命，就必須認(rèn)識(shí)這些細(xì)胞．同樣地，要解決數(shù)學(xué)問題，也必須認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一些基本結(jié)構(gòu)，以及這些結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)中的作用．按自然辯證法的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)的簡單化原理也應(yīng)該有規(guī)律可循．對(duì)用數(shù)和式組成的數(shù)學(xué)形態(tài)的處理，探求簡化規(guī)則，就是對(duì)規(guī)律的一種分析方法．規(guī)律是一個(gè)抽象的概念，規(guī)律往往隱藏在大量復(fù)雜的表象后面，它似乎離我們很近，但又很遠(yuǎn)．需要我們對(duì)大量同類問題全方位、多層次的分析比較，才能撥開迷霧，找出它們具有本質(zhì)的屬性．下面我們就對(duì)數(shù)學(xué)最基本的對(duì)象：即元的認(rèn)識(shí)開始

7、來展開我們的研究．第一講元的認(rèn)識(shí)內(nèi)容簡介：代數(shù)一個(gè)主要內(nèi)容是對(duì)數(shù)符、字符和運(yùn)算符組合成的代數(shù)式進(jìn)行研究，通過運(yùn)算、恒等變形、轉(zhuǎn)換形式及數(shù)理的邏輯推演，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的自然形態(tài)的認(rèn)識(shí)和變化規(guī)律的認(rèn)知，使人類改造世界的目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)；初等數(shù)學(xué)中，代數(shù)的基本內(nèi)容主要是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、式子的恒等變形的技巧訓(xùn)練、方程的求解、函數(shù)觀點(diǎn)的確定、不等量的比較等；它對(duì)學(xué)者有一個(gè)最基本的要求就是要建立對(duì)“基元”的認(rèn)識(shí)．下面舉例說明：例1化簡：解：令，∴，∴原式1．觀察整個(gè)式子，主要為、構(gòu)成，故為此問題的元．2．把式子用基

8、元x、y表示時(shí)，要注意a和1的表示：對(duì)稱和次數(shù)的認(rèn)識(shí)及分析．3．注意與常規(guī)的有理化解法比較．例2化簡：解：令，，∴∴原式1．此式由、、構(gòu)成，注意其相互的關(guān)系．2．轉(zhuǎn)化時(shí)注意分子、分母次數(shù)的統(tǒng)一．例3化簡：解：令，，∴原式例4解方程：解：令，∴且∴a、b是的兩根，故即有，檢驗(yàn)滿足原方程．1．式子在左邊兩項(xiàng)為共軛，是為基本結(jié)構(gòu)．2．解法為構(gòu)造方程求解．例5解方程組：解：令，∴∴原方程變?yōu)椤嗉矗ㄉ幔?．確定元后，注意兩元的關(guān)系，并用其表示第二個(gè)方程．1．注意有意義的范圍．