特征方程求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

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1、特征方程求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式一、一階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的研究與探索若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)它的通項(xiàng)公式的求法一般采用如下的參數(shù)法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè)，令，即，當(dāng)時(shí)可得，知數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，將代入并整理，得.觀察可發(fā)現(xiàn)即為方程的根我們稱方程為遞推公式的特征方程，為特征方程的根。將上述參數(shù)法類比到二階線性遞推數(shù)列能得到什么結(jié)論？二、二階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的研究與探索若數(shù)列滿足設(shè)，則,令①（1）若方程組①有兩組不同的實(shí)數(shù)解,則,,即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,∵由上兩式消去可得.（1）若方程組①有兩組相等的解，

2、易證此時(shí)，則…，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以．這樣，我們通過參數(shù)方法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列，從而求得二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)，若將方程組①消去即得，顯然、就是方程的兩根，我們不妨稱此方程為二階線性遞推數(shù)列的特征方程，結(jié)論：設(shè)遞推公式為其特征方程為，1、若方程有兩相異根、，則；2、若方程有兩等根，則.其中、可由初始條件確定。例1.（1）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)三、分式線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的研究與探索仿照前面方法，等式兩邊同加參數(shù)，則②令，即③記此方程的兩根為，（1）若，將分別代入②式可得以上兩

3、式相除得，于是得到為等比數(shù)列，其公比為，數(shù)列的通項(xiàng)可由求得；（2）若，將代入②式可得,考慮到上式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩邊取倒數(shù)得④由于時(shí)方程③的兩根滿足，∴于是④式可變形為∴為等差數(shù)列，其公差為，數(shù)列的通項(xiàng)可由求得．這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)。如果我們引入分式線性遞推數(shù)列（）的特征方程為，即，此特征方程的兩根恰好是方程③兩根的相反數(shù)，于是我們又有如下結(jié)論：分式線性遞推數(shù)列（），其特征方程為，即，1、若方程有兩相異根、，則成等比數(shù)列，其公比為；2、若方程有兩等根，則成等差數(shù)列，其公差為.例2.（1

4、）已知數(shù)列滿足,求通項(xiàng).（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)（3）設(shè)數(shù)列滿足.例3.（09·江西·理·22）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,,且對(duì)滿足的正數(shù)都有.(1)當(dāng)時(shí),求通項(xiàng);