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《特征方程法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、WORD格式可編輯特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)一、（一階線性遞推式）設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法：針對(duì)問題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1：設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，為0數(shù)列，故（證畢）下
2、面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用.例1．已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯為虛數(shù)單位。當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須二、（二階線性遞推式）定理2：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)
3、——迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故三、(分式遞推式)定理3：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時(shí)，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、（稱作特征根）時(shí)，則，其中例3、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)
4、公式.解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有∴專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯∴即例5．已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個(gè)相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)∵對(duì)于都有(2)∵∴令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)≤4，時(shí)，.專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯(3)∵∴∴令則∴對(duì)于∴(4)、顯然當(dāng)時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時(shí)，數(shù)列是存在的，當(dāng)時(shí)，則有令則得且≥
5、2.∴當(dāng)（其中且N≥2）時(shí)，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時(shí)，無窮數(shù)列都不存在.練習(xí)題：求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：1、在數(shù)列中，，求。（key：）2、在數(shù)列中，且，求。（key：）專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯1、在數(shù)列中，，求。（key：）2、在數(shù)列中，，求。（key：）3、在數(shù)列中，，求。（key：）4、在數(shù)列中，，且.求.（key：時(shí)，；時(shí)，）5、在數(shù)列中，（是非0常數(shù)）.求.（key：()；）()8、在數(shù)列中，給定，.求.(key:；若，上式不能應(yīng)用，此時(shí)，附定理3的證明定理3(分式遞推問題)：如果數(shù)列滿足下列條
6、件：已知的值且對(duì)于專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時(shí)，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、（稱作特征根）時(shí)，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則①專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯∵是特征方程的根，∴將該式代入①式得②將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是③當(dāng)，即=時(shí)，由②式得故當(dāng)即時(shí)，由②、③兩式可得此時(shí)可對(duì)②式作如下變化：④由是方程的兩個(gè)相同的根可以求得∴將此
7、式代入④式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.∴專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)存在使時(shí)，無意義.故此時(shí)，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有兩個(gè)相異的根、，∴其中必有一個(gè)特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得⑤由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有兩個(gè)相異根、方程專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯有兩個(gè)相異根、，而方程與方程又是同解方程.∴將上兩式代入⑥式得當(dāng)即時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時(shí)對(duì)于都有當(dāng)即時(shí)，上式也成立.由且可知所以(證畢)注:當(dāng)時(shí),會(huì)退化
8、為常數(shù);當(dāng)時(shí),可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.專業(yè)技術(shù)資料分享
