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《數(shù)列典型例題講解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、【典型例題】（一）研究等差等比數(shù)列的有關性質(zhì)1.研究通項的性質(zhì)例題1.已知數(shù)列滿足.（1）求；（2）證明：.解：（1）.（2）證明：由已知，故，所以證得.例題2.數(shù)列的前項和記為（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求.解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得：，又∴故是首項為1，公比為3的等比數(shù)列∴（Ⅱ）設的公比為，由得，可得，可得故可設，又，由題意可得，解得∵等差數(shù)列的各項為正，∴∴∴例題3.已知數(shù)列的前三項與數(shù)列的前三項對應相同，且對任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列.⑴求數(shù)列與的通項公式；⑵是否存在，使得，請說明理由.
2、點撥：（1）左邊相當于是數(shù)列前n項和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當時，.（2）把看作一個函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況.解：（1）已知…）①時，…）②①－②得，，求得，在①中令，可得得，所以N*）.由題意，，，所以，，∴數(shù)列的公差為，∴，）.（2），當時，單調(diào)遞增，且，所以時，，又，所以，不存在，使得.例題4.設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項an，bn解：依題意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn
3、+1②∵an、bn為正數(shù)，由②得，代入①并同除以得：，∴為等差數(shù)列∵b1=2，a2=3，，∴，∴當n≥2時，，又a1=1，當n=1時成立，∴2.研究前n項和的性質(zhì)例題5.已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求、的值及數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）時，.而為等比數(shù)列，得，又，得，從而.又.（2），），得，.例題6.數(shù)列是首項為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列，∴，∴由，得，∴數(shù)列的前項和的最大值為.（2）由（1）當
4、時，，當時，，∴當時，當時，∴.例題7.已知遞增的等比數(shù)列{}滿足，且是，的等差中項.（1）求{}的通項公式；（2）若，求使成立的的最小值.解：（1）設等比數(shù)列的公比為q（q＞1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）∴an=2·2（n－1）=2n（2）∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成
5、立，則2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值為5.例題8.已知數(shù)列的前n項和為Sn，且成等差數(shù)列，.函數(shù).（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為Tn，試比較的大小.解：（I）成等差數(shù)列，①當時，②.①－②得：，，當n=1時，由①得，又是以1為首項3為公比的等比數(shù)列，（II）∵，，，比較的大小，只需比較與312?的大小即可.∵∴當時，當時，當時，.3.研究生成數(shù)列的性質(zhì)例題9.（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II）設、是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.解：（Ⅰ）因為{cn+1－pcn}是等
6、比數(shù)列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），將cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3.（Ⅱ）設{an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn.為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1·c3
7、.事實上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq，c1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零，因此c1·c3，故{cn}不是等比數(shù)列.例題10.n2（n≥4）個正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11+a22+a33+…+ann解：設數(shù)列{}的公差為d，數(shù)列{}（i=1，2，3，…，n）的公比為q則=a11+（k－1）d，akk=[a11+（k－1）d]qk－1依題意得：，
8、解得：a11=d=q=±又n2個數(shù)都是正數(shù)，∴a11=d=q=，∴akk=，，兩式相減得：例題11.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，記（1）求數(shù)
