淺談集合在概率中的應(yīng)用

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1、淺談集合在概率中的應(yīng)用　　摘要：集合思想和集合語言已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。中學(xué)數(shù)學(xué)人教B版實(shí)驗(yàn)教材處理概率內(nèi)容的指導(dǎo)思想就是建立集合與概率的聯(lián)系，使用集合語言和集合運(yùn)算較精確地?cái)⑹龈怕实挠嘘P(guān)概念。運(yùn)用集合語言和運(yùn)算來表述概率中的幾個(gè)基本概念和一些事件，并把概率和集合的性質(zhì)進(jìn)行對比，從集合的角度來處理概率問題，從而進(jìn)一步說明集合思想在概率中的應(yīng)用。　　關(guān)鍵詞：集合；概率；聯(lián)系；應(yīng)用　　　　數(shù)學(xué)是一門非常迷人的學(xué)科，久遠(yuǎn)的歷史、勃勃的生機(jī)使她發(fā)展成為一棵枝繁葉茂的參天大樹。人們不禁要問：這棵大樹到底扎根于何處？為了回答這個(gè)問題，數(shù)學(xué)家們提出

2、了集合論。可以認(rèn)為，數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都是建立在集合的基礎(chǔ)之上的?！　≡谥袑W(xué)階段，由于眾多的數(shù)學(xué)內(nèi)容可以用集合思想來描述，因而不僅為理解與分析數(shù)學(xué)問題開辟了新的途徑，而且使許多表面上孤立、零亂的數(shù)學(xué)知識在本質(zhì)上得到了統(tǒng)一，這對于掌握數(shù)學(xué)的真諦無疑大有裨益。人教B版實(shí)驗(yàn)教材在處理概率內(nèi)容時(shí)，其指導(dǎo)思想就是建立集合與概率的聯(lián)系，使用集合語言和集合運(yùn)算較精確地?cái)⑹龈怕实挠嘘P(guān)概念。下面談一下筆者對集合思想在概率中應(yīng)用的看法。　　一、用集合語言和運(yùn)算來表述概率事件和公式5　　1.基本事件空間　　在一次試驗(yàn)中，所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間，常

3、用大寫希臘字母?贅表示。這里的基本事件空間類似于集合中的全集，每一個(gè)基本事件都是基本事件空間的元素，隨機(jī)事件是基本事件空間的子集。這樣就可以用維恩圖的方法來表示隨機(jī)事件之間的關(guān)系，并且我們知道基本事件空間容量為n的實(shí)驗(yàn)?zāi)軌虬l(fā)生的事件應(yīng)為2n-1，從集合的角度講就是基本時(shí)間空間這一集合的真子集個(gè)數(shù)。　　2.兩個(gè)事件的并與交　?。?）兩個(gè)事件的并。由事件和A至B少有一個(gè)發(fā)生（即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A，B都發(fā)生）所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的并（或和），記作C=A∪B，事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件組成的集合。因此A?哿A∪B,B

4、?哿A∪B且P(A)≤P(A∪B)，P(B)≤P(A∪B)，P(A∪B)≤P(A)+P(B).　?。?）兩個(gè)事件的交。由事件A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與B的交（或積），記作D=A∩B（或D=AB），事件A∩B是由事件A和B所共同含有的基本事件組成的集合。因此有：A?勐A∩B,B?勐A∩B且P(A)≥P(A∩B),P(B)≥P(A∩B)，P（A∩B）≤P（A）+P（B）.當(dāng)A，B是相互獨(dú)立事件時(shí)，有P(A∩B)＝P(A)×P(B).　?。?）與集合類比。兩個(gè)事件的并與交其實(shí)質(zhì)就是兩事件對應(yīng)集合的并集與交集，所以無論從定義、表

5、示、性質(zhì)上都與兩集合的并集與交集類似。這樣就可以借助于集合的運(yùn)算來表示和理解兩事件的并與交。　?。?）概率的一般加法公式。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩5B).從集合的觀點(diǎn)來看，概率的一般加法公式對應(yīng)關(guān)于集合元素個(gè)數(shù)的容斥定理：card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B)-cardP(A∩B)，它們的形式完全一致，可對比記憶和理解?！　?.互斥事件　?。?）互斥事件。不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件（或稱互不相容事件）。若A,B是互斥事件，從集合的角度看，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合互不相交，即有A∩B=?

6、?，從而得互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；而對于兩個(gè)有限集合A,B來說，若A∩B=??，有card(A∪B)=cardP(A)+cardP(B).　　（2）對立事件。不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互為對立事件。事件的對立事件記作A，從集合的角度看，由事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集。因此有A∪A=?贅，A∩A=??，且P(A∪A)=P(?贅)=P(A)+P(A)=1，從而得到P(A)=1-P(A)。這個(gè)公式為求P(A)提供了另外一種方法，當(dāng)我們直接求P（A）有困難

7、時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求P(A)。這實(shí)際是集合中補(bǔ)集思想的應(yīng)用?！　。?）古典概型。對于古典概型，如果試驗(yàn)有個(gè)兩兩互斥的基本事件，而隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m。設(shè)此試驗(yàn)的基本事件空間為?贅，則A?哿?贅，card(?贅)=n,card(A)=m，所以P(A)=■=■，即事件A的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)與全集?贅的元素個(gè)數(shù)的比值?！　?.條件概率　　對于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫條件概率，用符號P(B

8、A)來表示。P(B

9、A)=■，P(A)>0.5　　若此試驗(yàn)為古典概型，基本事件空間為?贅，則A?哿?贅,B?

10、哿?贅,P(A)=■,P(A∩B)=■.從而有P(B

11、A)=■=■，即此時(shí)事件B發(fā)生的條件概率就是A∩B的元素個(gè)數(shù)與A的元素個(gè)數(shù)之比?！　?.幾何概型　　幾何概型中事件A理解為?贅區(qū)域的某一子區(qū)域A，實(shí)際上