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1、由一道高考模擬題想到的 摘要：中學解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標系中，以方程的觀點研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題速度，以至于被迫中止解題過程.特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量地完成解題任務，計算能力是考查的一個重要方面.探索減小運算量的方法，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程顯得非常重要. 關鍵詞：解析幾何減少運算量高考模擬題 筆者在高三復習時遇到這樣一道模擬題： 如圖，已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線+=1的兩條漸近線為l，l.過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l，又l與l
2、交于點P，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B. （Ⅰ）若雙曲線的離心率為且雙曲線的焦距為4，求橢圓C的方程； ?。á颍┣蟮淖畲笾? 本文以第（Ⅱ）問為例，按照解析幾何的常規(guī)做法如下： 解：（Ⅱ）l∶y=（x-c）與橢圓C：+=1聯(lián)立整理得：（a+b）x-2cax+a（ac-b）=0. 由求根公式得x==. l∶y=（x-c）與l∶y=x聯(lián)立，可求得P（，）， ∴====.4 令t=∈（0，1）， 則===≤=-1，（當t=-1時取等號） ∴的最大值為-1. 總結：這種做法運算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此種解法并沒有用到在解解析幾何
3、題經(jīng)常使用的“設而不求”的方法，比如韋達定理，“點差法”等.從減少解析幾何運算量的角度來說，此種解法中“設點并求”是不太可取的一種方法，不到萬不得已不用.那么是不是除了這種“通法”外，此題就沒有其他減小運算量的方法呢？ 聯(lián)想平時在計算解析幾何題時用的一些減小運算量的小“技巧”，筆者試著從以下角度分析求解本題： 1.改變設法 另解1：（Ⅱ）l∶y=y+c與橢圓C：+=1聯(lián)立整理得：（a+b）y+2abcy-ab=0. 由求根公式得y==.l：x=y+c與l：x聯(lián)立，可求得P（，），∴===（后同原解）. 總結：當已知直線的橫截距時，設直線為x=ty+m型往往會收到意
4、想不到的效果.另外，此題在求線段比時將其投影到y(tǒng)軸，可以減少一個點的坐標的運算.不要小瞧這“一小步”，對于較復雜的解析幾何題來說這是“一大步”. 2.巧用向量 另解2：令=λ，則=λ， 由原解知P（，），進而x===y===將其代入橢圓C：+=1得：（c4+λa）+λab=ac（1+λ）， 整理得：∴λ=（后同原解）. 總結：向量本身就是一種工具，此種解法正是利用這個有效工具，進而得到點的坐標，再利用在橢圓上這一條件得出結論，給人一種順理成章，一氣呵成的感覺. 3.活用平幾 另解3：過P作x軸的垂線交x軸于C，過A作PC軸的垂線交PC軸于A.記l與l的交點為D
5、，則O、P、C、D四點共圓， ∴∠APA=∠DOF，∴=. 由原解知P在橢圓的右準線上，則=e， ∴===esin∠DOF. 又tan∠DOF=，∴sin∠DOF=， ∴==（后同原解）. 小結：以上解法借助圓的幾何性質(zhì)解題，令人拍案叫絕.采用“回歸定義”的策略，簡捷運算，是“數(shù)”與“形”有機結合的典范. 以上共介紹了三種解析幾何中常用的減小計算量的方法.其實，在解決解析幾何問題時，減小計算量的方法還有很多，比如設而不求、點差法、三角代換、極坐標、參數(shù)方程、使用特值等，并且不同的題目會有不同的處理辦法，只要在平時的練習中多實踐、多總結，就能夠以簡馭繁、事半功倍
6、，使解題思路構筑在較高的層面上. 參考文獻： [1]謝全苗.論數(shù)學求簡精神的培養(yǎng).數(shù)學通報，2004.2.4 [2]成軍.用平面向量巧解一題.中學數(shù)學，2006.5.4
