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《3.5函數(shù)的極值和最值》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在學術論文-天天文庫。
1、第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法二、最大值最小值問題函數(shù)的極值設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義?如果對于任意x?U(x0)有f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0))?則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值)?。x1x2x3x4x5函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.一、函數(shù)的極值及其求法對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0或不存在的點.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.設函數(shù)f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么f?(x0)?0.駐點使導數(shù)f?(x)為零的點(方程f?(x)
2、?0的實根)稱為函數(shù)f(x)的駐點.定理1(必要條件)思考:極值點是否一定是駐點？駐點是否一定是極值點？思考:極值點不一定是駐點.如y=
3、x
4、,x=0是極值點,但不可導駐點不一定是極值點.如y=x3,x=0是駐點,但不是極值點.定理2(極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,點擊圖中任意處動畫播放暫停確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f?(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f?(x)的符號;(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極
5、值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為定理3(極值第二判別法)二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.例2求函數(shù)f(x)?(x2?1)3?1的極值?解f?(x)?6x(x2?1)2?令f?(x)?0?求得駐點x1??1?x2?0?x3?1?f??(x)?6(x2?1)(5x2?1)?因為f??(0)?6?0?所以f(x)在x?0處取得極小值?極小值為f(0)?0?因為f??(?1)?f??(1)?0?所以用定理3無法判別?因為在?1的左右鄰域內f?(x)?0?所以f(x)在?1處沒有
6、極值?同理?f(x)在1處也沒有極值?試問為何值時,在時取得極值,還是極小.解:由題意應有又取得極大值為求出該極值,并指出它是極大例3二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)(1)求出函數(shù)f(x)在(a?b)內的駐點和不可導點?設這此點為x1?x2?????xn;(2)計算函數(shù)值f(a)?f(x1)?????f(xn)?f(b);(3)上述函數(shù)值中的最大者是函數(shù)f(x)在[a?b]上的最大值?最小者是函數(shù)f(x)在[a?b]上的最小值?特別:當在內只有一個極值可疑點時,若在此點取極大(小)
7、值,則也是最大(大)值.對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出.例4.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.(k為某一常數(shù))例5.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選取?20解:設則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,例6.假設某工廠生產某產品x千件的成本是售出該產品x件的收入是解:由題意，售出x千件產品的利潤是即令而在得發(fā)生
8、局部處達到最大利潤，又故在問是否存在一個能取得最大利潤生產水平？若存在，找出這個水平.解得最大虧損.清楚(視角?最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠處看圖才最內容小結1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可根據(jù)問題的實際意義判別
9、.2.連續(xù)函數(shù)的最值思考與練習1.設則在點a處().的導數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導數(shù)不存在.B2.設在的某鄰域內連續(xù),且則在點處(A)不可導;(B)可導,且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D3.設是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內單調增加;(D)在某鄰域內單調減少.提示:A作業(yè)：p-162習題3-51(5),(9);2;4(3)5;10;13;15
