構(gòu)造全等三角形種常用方法

《構(gòu)造全等三角形種常用方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。

1、構(gòu)造全等三角形種常用方法　　在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時(shí)要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對(duì)應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到一組對(duì)應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對(duì)應(yīng)邊用“SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個(gè)直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：　　ABCDFEG圖（1）搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問(wèn)題，只要構(gòu)造合適的

2、全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了．下面舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)的構(gòu)造方法，供同學(xué)們參考．1．截長(zhǎng)補(bǔ)短法例1．如圖（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于E，求證：AB+BE=AC．解法（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法）延長(zhǎng)AB至F使AF=AC，由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45o，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．解法（二）（截長(zhǎng)法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o,∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．2．平行線(xiàn)法（或

3、平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線(xiàn)或中位線(xiàn)，對(duì)Rt△,有時(shí)可作出斜邊的中線(xiàn)．ABCPQDO例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ．證明：如圖（1），過(guò)O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD

4、=OD，∴AB+BP=AD+DB+BPOABCPQD圖（2）ABCPQDE圖（3）O=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．說(shuō)明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”．⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：①如圖（2），過(guò)O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO來(lái)解決．②如圖（3），過(guò)O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來(lái)解決．ABCPQ圖（5）DO①如圖（4），過(guò)P作PD∥BQ交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，ABCPQ圖（4）DO則△APD≌△APC來(lái)解決．④如圖（5），過(guò)P作PD∥BQ交AC

5、于D，則△ABP≌△ADP來(lái)解決．（本題作平行線(xiàn)的方法還很多，感興趣的同學(xué)自己研究）．　3．旋轉(zhuǎn)法對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線(xiàn)段時(shí)，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。圖3　　例3　如圖3所示，已知點(diǎn)、分別在正方形的邊與上，并且平分，求證：?！　》治觯罕绢}要證的和不在同一條直線(xiàn)上，因而要設(shè)法將它們“組合”到一起?？蓪⒗@點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，則≌，=，從而將轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段，再進(jìn)一步證明即可。證明略。4．倍長(zhǎng)中線(xiàn)法題中條件若有中線(xiàn)，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。EABCDFH例4．如圖（7）AD是△ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=B

6、E．求證：AC=BF證明：延長(zhǎng)AD至H使DH=AD，連BH，∵BD=CD，∠BDH=∠ADC，DH=DA，∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=圖（7）∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．5．翻折法若題設(shè)中含有垂線(xiàn)、角的平分線(xiàn)等條件的，可以試用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來(lái)構(gòu)造全等三角形．例5．如圖（8）已知：在△ABC中，∠A=45o,AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求：△ABC的面積．ABCDEGF解：以AB為軸將△ABD翻轉(zhuǎn)180o，得到與它全等的△ABE，

7、以AC為軸將△ADC翻轉(zhuǎn)180o，得到與它全等的△AFC，EB、FC延長(zhǎng)線(xiàn)交于G，易證四邊形AEGF是正方形，設(shè)它的邊長(zhǎng)為x，則BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）+（x-2）=5．解得x=6，則AD=6，∴S△ABC=×5×6=15．　　　　　圖（8）ABCPD練習(xí)：例3．已知：如圖（6），P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)．分析：直接求∠APB的度數(shù)，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形．略解：將△BAP繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至△ACD，連接PD，則△BAP≌△ADC，∴DC=B

8、P=4，∵