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《9.數(shù)列單調性問題的設計研究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。
1、WORD格式可編輯專題：數(shù)列單調性問題的研究一、問題提出問題1：若（其中為實常數(shù)），，且數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為__________.問題2：數(shù)列滿足（為實常數(shù)），其中，且數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為__________.問題3：通項公式為的數(shù)列，若滿足，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.問題4：數(shù)列滿足（），最小項為第_______項；最大項為第______項問題5：數(shù)列滿足（為實常數(shù)，），最大項為，最小項為，則實數(shù)的取值范圍為__________.問題6：數(shù)列的通項公式
2、為，若對任意正整數(shù)，均成立，則實數(shù)的取值范圍是______________二、思考探究探究1：已知為兩個正數(shù)，且，設，，當且時，，（1）證明：數(shù)列為單調遞減數(shù)列；數(shù)列為單調遞增數(shù)列（2）證明：探究2：數(shù)列{an}滿足：a1=5，an+1－an=，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn滿足：Sn=2(1－bn)．（1）證明：數(shù)列{an+1－an}是一個等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；專業(yè)技術資料整理WORD格式可編輯（2）求數(shù)列{bn}的通項公式，并求出數(shù)列{anbn}的最大項．解：（1）令n=1得a2－5=，解得a2
3、=12，由已知得(an+1－an)2=2(an+1＋an)＋15①(an+2－an+1)2=2(an+2＋an+1)＋15②將②－①得(an+2－an)(an+2－2an+1＋an)=2(an+2－an)，由于數(shù)列{an}單調遞增，所以an+2－an≠0，于是an+2－2an+1＋an=2，即(an+2－an+1)－(an+1－an)=2，所以{an+1－an}是首項為7，公差為2的等差數(shù)列，于是an+1－an=7＋2(n－1)=2n＋5，所以an=(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋…＋(a2－a1)＋a
4、1=(2n＋3)＋(2n＋1)＋…＋7＋5=n(n＋4)．（2）在Sn=2(1－bn)中令n=1得b1=2(1－b1)，解得b1=，因為Sn=2(1－bn)，Sn+1=2(1－bn+1)，相減得bn+1=－2bn+1＋2bn，即3bn+1=2bn，所以{bn}是首項和公比均為的等比數(shù)列，所以bn=()n．從而anbn=n(n＋4)()n．設數(shù)列{anbn}的最大項為akbk，則有k(k＋4)()k≥(k＋1)(k＋5)()k+1，且k(k＋4)()k≥(k－1)(k＋3)()k-1，所以k2≥10，且k2－2k－9
5、≤0，因為k是自然數(shù)，解得k=4．所以數(shù)列{anbn}的最大項為a4b4=．探究3：已知數(shù)列{an}的首項a1＝a，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a的值；（2）確定a的取值集合M，使aM時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．解：（1）在S＝3n2an＋S中分別令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因為an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．因為數(shù)列{an}是
6、等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．經檢驗a＝3時，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝滿足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因為an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)專業(yè)技術資
7、料整理WORD格式可編輯即數(shù)列a2，a4，a6，…，及數(shù)列a3，a5，a7，…都是公差為6的等差數(shù)列，因為a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝要使數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，須有a1＜a2，且當n為大于或等于3的奇數(shù)時，an＜an＋1，且當n為偶數(shù)時，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n為大于或等于3的奇數(shù))，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n為偶數(shù))，解得＜a＜．所以M＝(，)，當aM時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．探究4：首項為正數(shù)的數(shù)列滿足，若對一切都有，則的取
8、值范圍是______________.探究5：（1）已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列單調遞減，數(shù)列單調遞增，則數(shù)列的通項公式為.解：（說明：本答案也可以寫成）方法一：先采用列舉法得，然后從數(shù)字的變化上找規(guī)律，得，再利用累加法即可；方法二：因為，，所以兩式相加，得，而遞減，所以，故；同理，由遞增，得；又，所以，以下同上.（2）已知數(shù)列滿足，，，若數(shù)列單調遞減，數(shù)列單調
