《泛函分析小論》word版

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1、泛函分析論文泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)等分科中都有應(yīng)用，是20世紀(jì)發(fā)展起來的一門新學(xué)科，其中泛函是函數(shù)概念的推廣，對(duì)比函數(shù)是數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)泛函是函數(shù)和數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在學(xué)習(xí)泛函分析前，我們先確定學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解和掌握“三大空間和三大定理”。學(xué)習(xí)中慢慢體味泛函分析的綜合性及專業(yè)性。。§1度量空間§1.1定義：若是一個(gè)非空集合，是滿足下面條件的實(shí)值函數(shù)，對(duì)于，有（1）當(dāng)且僅當(dāng)；（2）；（3），則稱為上的度量，稱為度量空間?！纠斫狻慷攘靠臻g就是：集合+距離；（滿足非負(fù)性、對(duì)稱性及三點(diǎn)不等式）其實(shí)度量空間是在實(shí)變函數(shù)

2、中接觸的知識(shí)，但其在泛函分析學(xué)科中的重要性，我們可以通過度量空間的進(jìn)一步例子來感受?！?.2度量空間的進(jìn)一步例子例：1、離散的度量空間，設(shè)是一個(gè)非空集合，，當(dāng)。2、序列空間，是度量空間3、有界函數(shù)全體，是度量空間4、連續(xù)函數(shù)，是度量空間5、空間，是度量空間§1.3度量空間中的極限，稠密集，可分空間§1.3.1極限：類似數(shù)學(xué)分析定義極限，如果是中點(diǎn)列，如果，使，則稱點(diǎn)列是中的收斂點(diǎn)列，x是點(diǎn)列的極限。同樣的類似于，度量空間中收斂點(diǎn)列的極限是唯一的?！?.3.2稠密子集與可分空間:設(shè)X是度量空間，E和M是X中兩個(gè)子集，令,那么稱集M在集E中稠

3、密，當(dāng)E=X時(shí)，稱M為X的一個(gè)稠密子集，如果X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集，則稱X是可分空間。即：§1.3.3例子1、n維歐氏空間是可分空間；2、坐標(biāo)為有理數(shù)的全體是的可數(shù)稠密子集；3、是不可分空間?！?.4連續(xù)映射§1.4.1定義：設(shè)§1.4.2證明映射連續(xù)性的方法1、定義法2、鄰域法：對(duì)的每一個(gè)—鄰域U,必有的某個(gè)—鄰域V使,其中表示V在映射T作用下的像。3、極限觀點(diǎn)（定理一）：1、定理二:度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射Y中任意開集M的原像是X中的開集。2、定理二（變式）：把“開集”改為“閉集”，定理二仍成立?！?.4.3例題例1、設(shè)

4、X,Y,Z為三個(gè)度量空間，是X到Y(jié)中的連續(xù)映射，是Y到Z的連續(xù)映射，證明復(fù)合映射是X到Z的連續(xù)映射。證明：設(shè)G是Z中開集，因g是Y到Z的連續(xù)映射,是Y中開集，又因是X到Y(jié)中的連續(xù)映射，是X中的開集，即是X中的開集，即連續(xù)?！痉治觥看祟}就是利用定理二來證明的?！?.5柯西點(diǎn)列和完備度量空間§1.5.1定義：設(shè)是度量空間，是X中點(diǎn)列，如果對(duì)，正整數(shù),使當(dāng)時(shí)，必有，則稱是X中的柯西點(diǎn)列，如果度量空間中每個(gè)點(diǎn)列都在中收斂，那么稱是完備的度量空間?！?.5.2相關(guān)結(jié)論1、全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備2、柯西點(diǎn)列不一定收斂，但是度量空間中每一個(gè)收

5、斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列3、柯西點(diǎn)列一定是有界點(diǎn)列4、定理：完備度量空間X的子空間M是完備空間的充要條件是M為X中的閉子空間。（即完備性關(guān)于閉子空間具有可遺傳性）【注意】開子空間不完備。例：1、是完備度量空間；2、是完備度量空間；3、是完備的度量空間；4、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體，作為的子空間不是完備度量空間；§1.6度量空間的完備化定理1（度量空間的完備化定理）：設(shè)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間，使與的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若也是一萬倍度量空間，且與的某個(gè)稠密空間等距同構(gòu)，則與等距同構(gòu)。（其中：若，稱與等距同

6、構(gòu)。）定理1可以通過圖形象表達(dá)W稠密V稠密定理：設(shè)是度量空間，那么存在唯一的完備空間，使為的稠密子空間。§1.7壓縮映射原理及其應(yīng)用§1.7.1定義：設(shè)是度量空間，是到中的映射，如果，，，則稱是壓縮映射?！?.7.2定理1（壓縮映射定理）設(shè)是完備的度量空間，是上的壓縮映射，那么有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（就是說，方程，有且只有一個(gè)解）。定理2（隱函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù)在帶狀域中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。如果常數(shù)和，滿足，則方程在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解：§1.8線性空間§1.8.1定義：設(shè)是一非空集合，在中定義了元素的加法運(yùn)算和實(shí)數(shù)（或

7、復(fù)數(shù)）與中元素的乘法運(yùn)算，滿足下列條件：（一）關(guān)于加法：(1)交換律（2）結(jié)合律（3）有零元（4）有負(fù)元，（二）關(guān)于數(shù)乘：（1）分配律（2）結(jié)合律（3），均有，滿足這樣性質(zhì)的集合稱為線性空間。例：1、按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間2、按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間3、空間按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間§2賦范線性空間§2.1賦范線性空間和巴拿赫空間§2.1.1定義：設(shè)是實(shí)（或復(fù)）的線性空間，如果對(duì)，都有確定的一個(gè)實(shí)數(shù)，記為與之對(duì)應(yīng)，并且滿足：，且等價(jià)于；（非負(fù)性）其中為任意實(shí)（復(fù)）數(shù)；，（三角不等式）則稱為向量的范數(shù)，稱按范數(shù)成為賦

8、范線性空間。注意：1、是的連續(xù)函數(shù)2、§2.2重要結(jié)論：1、完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間X是賦范線性空間，且是柯西點(diǎn)列。2、要判斷一個(gè)空間是否為巴拿赫空間，有三點(diǎn)：（1）是否為線性空間（2