實變函數(shù)與泛函分析論

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1、實變函數(shù)與泛函分析論文姓名許安琪專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號2013230407922016.10.24題目：勒貝格積分對比黎曼積分的優(yōu)越性摘要：黎曼積分與勒貝格積分之間有許多的相同之處，而勒貝格積分比黎曼積分要優(yōu)越許多，不僅是從它們的定義上看，本文從多種角度論述了黎曼積分與勒貝格積分的不同點與相似點，舉出了很多的題目和例子，根據(jù)形象的對比得出了勒貝格積分比之黎曼積分的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：定義聯(lián)系區(qū)別可積性正文：一、定義的區(qū)分：1.黎曼積分的定義：（1）區(qū)間的分割一個閉區(qū)間[a,b]的一個分割是指在此區(qū)間中取一個有限的點列a=x0

2、b。每個閉區(qū)間[xi,xi+1]叫做一個子區(qū)間。定義λ為這些子區(qū)間長度的最大值：λ=max(xi+1?xi)，其中0≤i≤n-1。再定義取樣分割。一個閉區(qū)間[a,b]的一個取樣分割是指在進(jìn)行分割a=x0

3、y.appendChild(script);voidfunction(e,t){for(varn=t.getElementsByTagName("img"),a=+newDate,i=[],o=function(){this.removeEventListener&&this.removeEventListener("load",o,!1),i.push({img:this,time:+newDate})},s=0;s

4、&&e.addEventListener("load",o,!1):e.attachEvent&&e.attachEvent("onreadystatechange",function(){"complete"==e.readyState&&o.call(e,o)})}();alog("speed.set",{fsItems:i,fs:a})}(window,document);精細(xì)化分割：設(shè)x0,...,xn以及t0,...tn-1構(gòu)成了閉區(qū)間[a,b]的一個取樣分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一個分割。如果對于任意0≤i≤n

5、，都存在r(i)使得xi=yr(i)，并存在使得ti=sj，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1稱作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一個精細(xì)化分割。簡單來說，就是說后一個分割是在前一個分割的基礎(chǔ)上添加一些分點和標(biāo)記。于是我們可以在此區(qū)間的所有取樣分割中定義一個偏序關(guān)系，稱作“精細(xì)”。如果一個分割是另外一個分割的精細(xì)化分割，就說前者比后者更“精細(xì)”。（2）黎曼和對一個在閉區(qū)間[a,b]有定義的實值函數(shù)f，f關(guān)于取樣分割x0,...,xn-1、t0,...,tn-1的黎曼和定義為以下和式：和式中的每一項是子區(qū)間長度x

6、i+1?xi與在ti處的函數(shù)值f(ti)的乘積。直觀地說，就是以標(biāo)記點ti到X軸的距離為高，以分割的子區(qū)間為長的矩形的面積。2.勒貝格積分的定義：設(shè)f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函數(shù)，則稱f(x)∈L(E)，如果對任意ε>0，必然存在E的分劃D，使S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi；這里S(D,f)及s(D,f）分別是f(x)關(guān)于分劃D的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。varcpro_psid="u2572954";varcpro_pswidth=966;varcpro_psheight=120;由上述定義可以看出，勒貝格積分與

7、黎曼積分的主要區(qū)別在于前者是對函數(shù)的函數(shù)值區(qū)域進(jìn)行劃分；后者是對函數(shù)定義域進(jìn)行劃分。對此Lebesgue自己曾經(jīng)作過一個比喻，他說：“假如我欠人家一筆錢，要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計算總數(shù)，那就是Riemann積分思想?！睆睦碚搶嶋H上來說，黎曼積分定義下的函數(shù)類太小，而勒貝格積分就完美的解決了這一問題。二、勒貝格積分與黎曼積分的聯(lián)系：而根據(jù)上述的定義可以看出，對于定義在某以特定區(qū)間[a,b]內(nèi)的函數(shù)f（x），如果它是黎曼可積的，

8、則它必然也是勒貝格可積的，而且在這種情況下，它有相同的積分值。所以我們在平時的解題中，為方便起見，先考慮函數(shù)是否黎曼可積，