第二章分離變量法[§2.2,§2.3]

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1、專業(yè)資料整理分享§2.2有限桿上的熱傳導(dǎo)定解問題:一均勻細(xì)桿,長為,兩端坐標(biāo)為。桿的側(cè)面絕熱,且在端點處溫度為零,而在處桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度為0的介質(zhì)中。初始溫度為,求桿上的溫度變化情況,即考慮下定解問題:仍用分離變量法求解。此定解問題的邊界條件為第三類邊界條件。類似§2.1中步驟,設(shè),代入上面的方程可得從而可得通解由邊界條件知從而令上方程的解可以看作曲線,交點的橫坐標(biāo),顯然他們有無窮多個,于是方程有無窮多個根。用下符號表示其無窮多個正根于是得到特征值問題的無窮個特征值完美WORD格式編輯專

2、業(yè)資料整理分享及相應(yīng)的特征函數(shù)再由方程,可得,從而我們得到滿足邊界條件的一組特解由于方程和邊界條件是齊次的,所以仍滿足此方程和邊界條件。下面研究一下其是否滿足初始條件??梢宰C明在區(qū)域[0,l]上具有正交性,即證明:完成。令于是,完美WORD格式編輯專業(yè)資料整理分享從而得到定解問題得解。§2.3圓域內(nèi)的二維Laplace方程的定解問題平面極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系是由此可得即是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,可得進一步,可得完美WORD格式編輯專業(yè)資料整理分享在此基礎(chǔ)上,還可以得到柱坐標(biāo)系下的Laplace算符完美

3、WORD格式編輯專業(yè)資料整理分享考慮圓域內(nèi)的穩(wěn)定問題:其在極坐標(biāo)下的表示形式:因圓域內(nèi)溫度不可能為無限,尤其是在圓盤中心點的溫度應(yīng)該有限,并且表示同一點,故而我們有下約束下面用分離變量法求解該問題。令代入極坐標(biāo)下方程可得:從而可得常微分方程由有限性及周期邊界條件知,從而得定解問題求解:①時,通解為由周期邊界條件可得從而,不可取。②時,通解為由周期邊界條件可得B任意,說明為一特征值,相應(yīng)得特征函數(shù)為完美WORD格式編輯專業(yè)資料整理分享。③時,通解為因以為周期,所以有從而可得特征值特征函數(shù)為接下來,求

4、特解,并疊加出一般解。由Euler方程若令,即,則上方程可寫為故①時,通解②時,通解為為保證,所以可得,即從而,滿足齊次方程和周期條件及有限性的解可以表示為級數(shù)最后,為了確定系數(shù),我們利用邊界條件可得運用性質(zhì)完美WORD格式編輯專業(yè)資料整理分享從而可得因而,我們有利用下面的求和公式所以,稱此表達(dá)式為圓域內(nèi)的Poisson公式,它的作用是把解寫成積分形式,便于作理論上的研究。例題解下列定解問題:解:利用公式可知,所以。完美WORD格式編輯

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