壓縮感知的重構(gòu)算法

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1、壓縮感知的重構(gòu)算法算法的重構(gòu)是壓縮感知中重要的一步，是壓縮感知的關(guān)鍵之處。因?yàn)橹貥?gòu)算法關(guān)系著信號(hào)能否精確重建，國內(nèi)外的研究學(xué)者致力于壓縮感知的信號(hào)重建，并且取得了很大的進(jìn)展，提出了很多的重構(gòu)算法，每種算法都各有自己的優(yōu)缺點(diǎn)，使用者可以根據(jù)自己的情況，選擇適合自己的重構(gòu)算法，大大增加了使用的靈活性，也為我們以后的研究提供了很大的方便。壓縮感知的重構(gòu)算法主要分為三大類：1.組合算法2.貪婪算法3.凸松弛算法每種算法之中又包含幾種算法，下面就把三類重構(gòu)算法列舉出來。組合算法：先是對(duì)信號(hào)進(jìn)行結(jié)構(gòu)采樣，然后再通過對(duì)采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組測

2、試，最后完成信號(hào)的重構(gòu)。(1)傅里葉采樣（FourierRepresentaion）(2)鏈?zhǔn)阶粉櫵惴ǎ–hainingPursuit）(3)HHS追蹤算法（HeavyHittersOnSteroids）貪婪算法：通過貪婪迭代的方式逐步逼近信號(hào)。(1)匹配追蹤算法（MatchingPursuitMP）(2)正交匹配追蹤算法（OrthogonalMatchingPursuitOMP）(3)分段正交匹配追蹤算法（StagewiseOrthogonalMatchingPursuitStOMP）(4)正則化正交匹配追蹤算法（Regu

3、larizedOrthogonalMatchingPursuitROMP）(5)稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法（SparistyAdaptiveMatchingPursuitSAMP）凸松弛算法：(1)基追蹤算法（BasisPursuitBP）(2)最小全變差算法（TotalVariationTV）(3)內(nèi)點(diǎn)法（Interior-pointMethod）(4)梯度投影算法（GradientProjection）(5)凸集交替投影算法（ProjectionsOntoConvexSetsPOCS）算法較多，但是并不是每一種算法都能夠得到

4、很好的應(yīng)用，三類算法各有優(yōu)缺點(diǎn)，組合算法需要觀測的樣本數(shù)目比較多但運(yùn)算的效率最高，凸松弛算法計(jì)算量大但是需要觀測的數(shù)量少重構(gòu)的時(shí)候精度高，貪婪迭代算法對(duì)計(jì)算量和精度的要求居中，也是三種重構(gòu)算法中應(yīng)用最大的一種。下面分別就貪婪算法中的MP，OMP算法以及凸松弛算法中的BP算法進(jìn)行詳細(xì)的介紹。三種重建算法本節(jié)主要是介紹一些基本的重建算法，比如貪婪迭代算法中的匹配追蹤算法，正交匹配追蹤算法，以及凸松弛算法中的基追蹤算法，對(duì)其原理進(jìn)行了介紹，并用matlab代碼重構(gòu)出來一維和二維的圖形，進(jìn)而比較這幾種算法的性能。1.匹配追蹤算法（M

5、atchingPursuitMP）匹配追蹤算法是Mallat和ZHANG在小波分析的基礎(chǔ)上提出的，是貪婪迭代算法中的比較基本的算法，有其顯著的特點(diǎn)，是學(xué)習(xí)研究貪婪算法的基礎(chǔ)。1.1MP算法的原理，其中測量矩陣又稱為過完備字典，每一列被稱為一個(gè)原子，則測量矩陣中有n個(gè)原子，而y的長度為m，原子的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號(hào)的長度，即m<

6、大（最匹配）的原子，也就是觀測矩陣中的一列，構(gòu)建信號(hào)的稀疏逼近，求出信號(hào)的殘差，重復(fù)上面的操作，繼續(xù)選擇與信號(hào)殘差最匹配的一個(gè)原子，如此反復(fù)迭代直到達(dá)到迭代次數(shù)，最后信號(hào)y就可以表示為這些原子的線性組合。MP進(jìn)行稀疏分解的步驟[1][2]：從觀測矩陣中選擇一個(gè)與信號(hào)y最匹配的原子，也就是內(nèi)積最大的一個(gè)原子，即：

7、

8、=

9、

10、（1）其中，表示字典矩陣的列索引。先將信號(hào)y投影到向量上，信號(hào)y也可以表示為：(2)(2)式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)為觀測矩陣中最匹配原子的垂直投影分量，等式右邊的第二項(xiàng)是y通過分解后的殘差，且與y正

11、交。（2）式可以寫為：（3）對(duì)殘差進(jìn)行上面同樣的分解，在第n次迭代過程中：（4）因?yàn)楹驼?，則（4）式可以表示為：（5）最后，信號(hào)y可以表示為：（6）因?yàn)樽詈蟮臍埐钫挥谏洗蔚a(chǎn)生的殘差，則最后的表達(dá)式為：（7）由（7）式可知，當(dāng)殘差為零時(shí)，可以得到信號(hào)的精確分解。定理1[3]存在，使得一切對(duì)于時(shí)，有成立。這樣（7）式中，按照指數(shù)衰減的形式趨于零，也就是成立。參考文獻(xiàn)：[1]曹離然.面向壓縮感知的稀疏信號(hào)重建算法研究.[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.[2]Y.C.PATI.OrthogonalMatchingPursui

12、t:RecursiveFunctionApproximationwithApplicationstoWaveletDecomposition.IEEE.1993:40-44[3]韓紅平.壓縮感知中信號(hào)重構(gòu)算法的研究.[D].南京郵電大學(xué)，2012.1.2MP算法的理論框圖根據(jù)上面的MP算法