利用軸對稱求最短距離問題

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1、完美WORD格式資料利用軸對稱求最短距離問題基本題引入:如圖（1），要在公路道a上修建一個加油站，有Ａ，Ｂ兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？你可以在a上找?guī)讉€點試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?a·A·B圖1·A·Ba·A′M圖2·A·Ba·A′MN圖3思路分析：如圖2，我們可以把公路a近似看成一條直線，問題就是要在a上找一點M，使AM與BM的和最小。設(shè)A′是A的對稱點，本問題也就是要使A′M與BM的和最小。在連接A′B的線中，線段A′B最短。因此，線段A′B與直線a的交點C的

2、位置即為所求。如圖3，為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點N，連接AN、BN、A′N。因為直線a是A，A′的對稱軸，點M,N在a上，所以AM=A′M,AN=A′N?！郃M+BM=A′M+BM=A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。點評：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、面露微笑，不一會不少學(xué)生就利用軸對稱知識將上一道中考題解決了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小.由題意可知，點C關(guān)于直線DE的對稱點是點A，顯然當(dāng)P

3、、A、B三點共線時PB＋PA最小.此時DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴當(dāng)x＝時，△PBC的周長最小，y值略。專業(yè)整理分享完美WORD格式資料數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲

4、得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時每年的中考題也千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生的應(yīng)對能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問題集中呈現(xiàn)給學(xué)生。一、兩條直線間的對稱題目1如圖，在曠野上，一個人騎馬從A出發(fā)，他欲將馬引到河a1飲水后再到a2飲水，然后返回A地，問他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。點評：這道題學(xué)生拿到時往往無從下手。但只要把握軸對稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過點A作a1的對稱點A′，作a2的對稱點A〞,連接A′A〞交a1、a2于B、C,連接BC.所經(jīng)過路線

5、如圖5：A-B-C-A,所走的總路程為A′A〞。ACBEDBCa1a2A′A″A第1題圖第2題圖二、三角形中的對稱題目2如圖,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC邊上的中點,E是AB邊上的一動點,則EC+ED的最小值是__點評：本題只要把點C、D看成基本題中的Ａ、Ｂ兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿，問題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識點并沒有改變。三、四邊形中的對稱題目3如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的動點，則DN+MN的最小值為多少？

6、點評：此題也是運用到正方形是軸對稱圖形這一特殊性質(zhì)，點D關(guān)于直線AC的對稱點正好是點B，最小值為MB＝10。專業(yè)整理分享完美WORD格式資料MADBCN第3題圖第4題圖四、圓中的對稱題目4已知：如圖，已知點A是⊙O上的一個六等分點，點B是弧AN的中點，點P是半徑ON上的動點，若⊙O的半徑長為1，求AP+BP的最小值。EFGB′AC·BH點評：這道題也運用了圓的對稱性這一特殊性質(zhì)。點B的對稱點B′在圓上，AB′交ON于點p′,由∠AON﹦60°,∠B′ON﹦30°，∠AOB′﹦90°，半徑長為1可得AB′﹦。當(dāng)點

7、P運動到點p′時，此時AP+BP有最小值為hAB第5題圖1第5題圖2五、立體圖形中的對稱題目5如圖1是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處的食物，已知盒高h(yuǎn)＝10cm，底面圓的周長為32cm，A距離下底面3cm．請你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為cm．點評：如圖2，此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH,作出點B關(guān)于EH的對稱點B′,作AC⊥GH于點C,連接AB′。在Rt△AB′C中，AC﹦16,B′C﹦12

8、,求得AB′﹦20，則螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過變式訓(xùn)練既解決了一類問題，又歸納出了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)生再碰到類似問題時學(xué)生就不會不知所措。同時變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性，發(fā)展了專業(yè)整理分享完美WORD格式資料學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和