圓錐曲線與方程變式題.doc

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1、圓錐曲線與方程變式題XYPODM1．（人教A版選修1－1，2－1第39頁例2）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作X軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？變式1：設(shè)點(diǎn)P是圓上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0）．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，．即，．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以．即，即，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程．變式2：設(shè)點(diǎn)P是圓上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），若點(diǎn)M滿足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡方程．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，得，即，

2、．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以．即，即，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程．變式3：設(shè)點(diǎn)P是曲線上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為，若點(diǎn)M滿足．當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡方程．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，得，即，．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以．即，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程．2．（人教A版選修1－1，2－1第40頁練習(xí)第3題）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)．（1）求的周長；（2）如果AB不垂直于x軸，的周長有變化嗎？為什么？變式1（2005年全國卷Ⅲ）：設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢

3、圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是A．B．C．D．解一：設(shè)橢圓方程為，依題意，顯然有，則，即，即，解得．選D．解二：∵△F1PF2為等腰直角三角形，∴.∵，∴，∴．故選D．變式2：已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為．解一：由定義知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時，解得．即的最大值為．解二：設(shè)，由焦半徑公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值為．變式3（2005年全國卷Ⅰ）：已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓

4、右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，則直線AB的方程為，代入，化簡得.設(shè)A（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得在橢圓上，即①由（Ⅰ）知又，代入①得故為定值，定值為1.3．（人教A版選修1－1，2－1第47頁習(xí)題2.1A組第6題）已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式1（2004年湖北卷理）：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓

5、上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為A．B．3C．D．解：依題意，可知當(dāng)以F1或F2為三角形的直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到x軸的距離為，故選D．（可以證明不存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的三角形）變式2（2006年全國卷Ⅱ）：已知的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上，則的周長是A．　　　　B．6　　　　C．　　　　D．12解：由于橢圓的長半軸長，而根據(jù)橢圓的定義可知的周長為，故選C．4．（人教A版選修1－1，2－1第47頁習(xí)題2.1B組第3題）如圖，矩形ABCD中，，，E，

6、F，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，，，是線段CF的四等分點(diǎn)．請證明直線ER與、ES與、ET與的交點(diǎn)L，M，N在同一個橢圓上．變式1：直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.若雙曲線C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上時，則實(shí)數(shù)．解：將直線代入雙曲線C的方程整理，得……①依題意，直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得．設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由①式得……②∵雙曲線C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，則由FA⊥FB得：整理，得……③把②式及代入③式化簡，得解得，故．變式2（2002年廣東卷）：A、B是雙曲線上

7、的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求直線AB的方程；（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？解：（Ⅰ）直線AB的方程為．（求解過程略）（Ⅱ）聯(lián)立方程組得、．由CD垂直平分AB，得CD方程為．代入雙曲線方程整理，得．記，以及CD的中點(diǎn)為，則有從而．∵．∴．又．即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等．故A、B、C、D四點(diǎn)共圓．變式3（2005年湖北卷）：設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直

8、線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由.（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為整理，得①設(shè)①的兩個不同的根，②是線段AB的中