從哲學(xué)視域探討高數(shù)中的概念

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1、從哲學(xué)視域探討高數(shù)中的概念一、函數(shù)、極限、連續(xù)(一)函數(shù)現(xiàn)實生活中,每個人都有著錯綜復(fù)雜的關(guān)系。比如:朋友關(guān)系、師生關(guān)系、醫(yī)患關(guān)系、父子關(guān)系等。對于兩個有聯(lián)系的事物在量上存在著的某種關(guān)系,數(shù)學(xué)中我們把它定義為函數(shù),即y=f(x)。(二)極限事物是發(fā)展變化的,但我們總希望在變化中發(fā)現(xiàn)它的穩(wěn)定性,這在數(shù)學(xué)中就是極限。極限是微積分的工具,在其中占據(jù)很大的地位。不僅如此,極限在物理、工程等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用,它揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系。極限是個美好的東西,借助極限思想,人們可以從有限認(rèn)識無限,從不變認(rèn)識變化,從直線形狀

2、認(rèn)識曲線形狀,從量變認(rèn)識質(zhì)變,從近似認(rèn)識準(zhǔn)確。我們每個人都在為了過上理想的生活努力奮斗。隨著努力程度的增加,我們離美好事物也會越來越近。盡管如此,但有時還是觸摸不到。這種想要而得不到的心情又加深了我們對美好事物的向往。極限思想恰好體現(xiàn)了我們追求美好事物的過程。例如對于一個數(shù)列1,12,13,……,1n,這里可以把n增加的過程視作我們努力的過程,把極限值0視作我們的目標(biāo),顯然隨著n的逐漸增大,離目標(biāo)0越來越近。極限是事物變化過程中呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性趨勢。它與個別點的取值有關(guān)系,但個別點的取值又決定不了最終的趨勢。比如我們經(jīng)常聽到的一句話

3、“冬天來了,春天還會遠(yuǎn)嗎?”冬去春來是大自然的內(nèi)在規(guī)律,可能這個冬天有點暖,那個春天有點冷,但是,無論怎樣都改不了四季輪回的整體趨勢。哲學(xué)中常說事物的發(fā)展是曲折上升的。這在極限中就可以體現(xiàn)出來。比如我們來看數(shù)列1-12,1+13,1-14,1+15,……,1+(-1)n1n+1……,隨著n的逐漸增大(這里我們可以將其看作某人逐漸努力的過程),這個數(shù)列的通項越來越接近極限值1(這里我們可以把極限1看作這個人奮斗的目標(biāo))。通過這個人的努力最終達(dá)到目標(biāo)了,這解釋了事物的發(fā)展是伴隨著曲折和坎坷而不斷上升的?？梢娫谧分鹈篮檬挛锏穆吠局须m充滿

4、了曲折和挑戰(zhàn),但只要認(rèn)準(zhǔn)了自己的正確目標(biāo),堅持到底,一定會達(dá)到勝利的彼岸。(三)連續(xù)哲學(xué)中事物的變化是從量變到質(zhì)變。這在高等數(shù)學(xué)中也有明確的概念來對應(yīng)。事物數(shù)量積累是連續(xù)的,量積累到一定程度變化到質(zhì),又是不連續(xù)的,也就是高等數(shù)學(xué)中談到的間斷點。經(jīng)過質(zhì)變之后,又進(jìn)入了下一輪的量變過程,連續(xù)與間斷如此反復(fù)促進(jìn)事物的發(fā)展變化。當(dāng)然對間斷點稍做調(diào)整又可以實現(xiàn)連續(xù),這也說明在一定條件下兩者可以相互轉(zhuǎn)化。二、導(dǎo)數(shù)與微分(一)導(dǎo)數(shù)事物是變化的,這就決定了它們的關(guān)系也是變化的。當(dāng)一種現(xiàn)象發(fā)生量的變化時,與之相關(guān)的另一現(xiàn)象也隨之變化。數(shù)學(xué)中用增量表

5、示變化。這里我們把吟x=x2-x1稱為自變量的變化;吟y=y2-y1稱為因變量的變化。于是就有了研究變化與變化關(guān)系的概念即導(dǎo)數(shù):導(dǎo)數(shù)是討論變化與變化的關(guān)系,這種變化關(guān)系有強(qiáng)有弱。根據(jù)變化的強(qiáng)弱可得到如下對應(yīng)關(guān)系:(1)多變對多變;(2)多變對少變;(3)多變對不變;(4)少變對少變;(5)少變對多變;(6)少變對不變;(7)不變對萬變。舉例來說,對于(1)與(4),就一些奢侈品而言,如香水,它的價格變動時,人們的需求也會隨之變化。若當(dāng)其價格降為0時,需求最大。這就是彈性需求。對于(2)和(3),就如生活中的必需品,如饅頭,即使價格

6、降為0,人們對其需求也變化不大。人們對它的需求不因價格的變化而變化,我們稱之為剛性需求。對于(5),就如在某人體溫發(fā)生微小變化時,如上升了0.3度,對于這個人來說就會感[1][2]下一頁覺到渾身不適。還有一個大家非常熟悉的“蝴蝶效應(yīng)”---一只蝴蝶在巴西煽動翅膀會在得克薩斯引起龍卷風(fēng),說的也是小變化引起大變化的例子。對于(7),在高等數(shù)學(xué)中,常量與變量既有嚴(yán)格的區(qū)分,又相互依存、相互滲透,在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。再如,在多元函數(shù)微積分中,為了研究某一個變量的性態(tài),往往把其余變量看作常量。導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上體現(xiàn)了變化與變化的關(guān)系。然而要研究事

7、物間的變化關(guān)系,必須弄清兩件事:一是在什么范圍內(nèi)發(fā)生變化,也就是數(shù)學(xué)中所說的論域,只不過數(shù)學(xué)當(dāng)中研究的是一種抽象的變化,脫離了具體的背景,如果我們把這種變化關(guān)系用到經(jīng)濟(jì)中就是邊際與彈性問題。邊際討論的是絕對變化量的關(guān)系,彈性討論的是相對變化量的關(guān)系。而經(jīng)濟(jì)學(xué)更關(guān)心的是邊際效益。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一個通用規(guī)律:邊際效益遞減。這一規(guī)律有著很廣泛的應(yīng)用。比如人與人的交往中,一開始大家都對彼此有很大的興趣,但隨著時間推移,我們會慢慢不在乎對方的一舉一動,這正是平常所說的夫妻間的“七年之癢”.如果大家明白了這點,就會在自己今后的生活中學(xué)會創(chuàng)新。工

8、作也一樣,比如輔導(dǎo)員(父母)如果不厭其煩地重復(fù)一個模式、一句話,那么其發(fā)揮的功效就會慢慢減少。(二)微分世界的一切事物是相互聯(lián)系的。導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的,是關(guān)于函數(shù)變化率的問題;而微分是用函數(shù)變化率的線性主部來定義的,用于近似計算。兩問題出發(fā)點雖然