資源描述：
《有限維線性空間的分解.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、畢業(yè)論文題目有限維線性空間的分解學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院姓名周吉強(qiáng)專業(yè)班級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)20101010646指導(dǎo)教師邵海琴教授提交日期2014-5-28原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名：年月日論文指導(dǎo)教師簽名：年月日目錄1引言與預(yù)備知識(shí)12有限維線性空間的分解22.1按子空間的
2、直和分解22.2按生成子空間分解32.3按特征子空間分解，即按可對(duì)角化的線性變換分解42.4按根子空間分解，即準(zhǔn)素分解62.5按循環(huán)子空間分解72.6按線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形分解9參考文獻(xiàn)…………….....……………….…….12有限維線性空間的分解周吉強(qiáng)（天水師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅，天水，741000）摘要總結(jié)了有限維線性空間按子空間、生成子空間、特征子空間、根子空間、循環(huán)子空間以及線性變換的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形等分解方法，并通過具體的例子加以說明.關(guān)鍵詞線性空間;直和分解；子空間；生成子空間；根子空間；循環(huán)子空間；線性
3、變換Decompositionoffinite-dimensionallinearspaceJiqiangZhou(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741000)AbstractInthispaper,wesummarydecompositionmethodsoffinitedimensionalLinearspacebysubspace,generatingsubspace,propersubspace,androotspa
4、ce,-cyclicsubspaceandstandardfromoftransformation,weexplainforthesixdecompositionmethodsbyconcreteexamples.KeywordsLinearspace,straightanddecomposition,subspace,generatingsubspace,rootspace,cyclicsubspace,lineartransformation有限維線性空間的分解1引言與預(yù)備知識(shí)線性空間是線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)，線性空間也
5、是線性代數(shù)中最為抽象的概念.子空間的和，尤其是直和雖然概念抽象，證明困難，但仍然有規(guī)律可循.只要掌握了方法，便能得心應(yīng)手.定義1.1設(shè)與是有限維線性空間的兩個(gè)子空間，如果與的和中每個(gè)元素的分解式是惟一的，則稱這個(gè)和為直和.定義1.2設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，,為的一組基.在該基下的矩陣為，則有設(shè)是的特征值，令則是的子空間，且稱其為的屬于特征值的特征子空間.定義1.3設(shè)線性變換的特征多項(xiàng)式為，它可以分解成一次因式的乘積則可分解成不變子空間的直和，其中稱為屬于的根子空間.定理1.1設(shè)是有限維線性空間的兩個(gè)子空間,那么下列命題等價(jià)(
6、1);(2)零向量的分解式是惟一的；(3);(4).定理1.2復(fù)數(shù)域上有限維線性空間的每一個(gè)線性變換都有標(biāo)準(zhǔn)形，并且這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外，是被線性變換唯一決定的.線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形的求法具體如下：(1)首先用初等變換化特征矩陣為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是的全部初等因子.(2)每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)若而當(dāng)塊.(3)就是的標(biāo)準(zhǔn)形.2有限維線性空間的分解2.1按子空間的直和分解在判定兩個(gè)子空間的和是直和是應(yīng)熟練應(yīng)用直
7、和的等價(jià)條件，其中最常用的是與.如果要證明線性空間可以分解成子空間的直和時(shí)，先任取,證明，,則有;再任取,證，則有.于是.例2.1.1已知的兩個(gè)子空間，證明.證明對(duì)任意的，有,其中,.容易驗(yàn)證,所以,即有.對(duì)任意的,則,所以,故.2.2按生成子空間分解定義2.2.1設(shè)是線性空間中的一組向量，不難看出，這組向量所有的線性組合所成的集合是非空的.而且對(duì)兩種運(yùn)算封閉，因而是的一個(gè)子空間.這個(gè)子空間叫做由生成的子空間，記為.例2.2.1證明：數(shù)域上任意一個(gè)維線性空間可以表示成個(gè)1維子空間的直和.證明在線性空間中取一個(gè)基，則由于因此是
8、直和，于是.2.3按特征子空間分解，即按可對(duì)角化的線性變換分解如果可以寫成兩個(gè)非平凡子空間與的直和：,那么任選的一個(gè)基和的一個(gè)基湊成的一個(gè)基.當(dāng)與都在線性變換之下不變時(shí)，關(guān)于這樣選取的矩陣是，其中是一個(gè)階矩陣，它是關(guān)于基的矩陣，是一個(gè)階矩陣，它是關(guān)于基的矩陣.由此可知，矩陣分解為準(zhǔn)對(duì)角形與
