有限維線性空間的基

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1、有限維線性空間的基楊忠鵬　晏瑜敏　戴培培莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系一、數(shù)域上有限維線性空間的三要素：1．基2．維數(shù)3．坐標維數(shù)是的唯一的本質(zhì)特征，在同構(gòu)意義下的研究可歸結(jié)為的討論?；话闶遣晃ㄒ坏?，在線性運算下，對具體的線性空間來說，可由一組基來把握。正如[1，P171]所說：“給定有限維的向量空間，要求其維數(shù)，首先要抓‘基’”。關(guān)于有限維空間的基與維數(shù)，綜合起來有以下基本結(jié)論（見[2]，P330）。設(shè)是數(shù)域上線性空間，，則下列陳述彼此等價：（1）是的一組基；（2）線性無關(guān)，但線性相關(guān)，；（3）都可經(jīng)唯一地線性表

2、示；（4），且經(jīng)線性表示的表法唯一；（5），且線性無關(guān)；（6）且；（7）二、常見線性（子）空間的基與維數(shù)1．這是基本的習(xí)題內(nèi)容[3，習(xí)題6]的3（有8個小題）、8（有4個小題）、13（有3個小題）、14、16、17、18題。2．常見的線性（子）空間的標準基（1）　（2）　4（3）（4）（5）三、n維線性空間的基的確定1.從一組給定的基出發(fā)，可構(gòu)造出所有（無窮多）的不同的的基.，線性無關(guān)是可逆的為的基.2.指定條件下的線性空間基的確定.例1.設(shè)是數(shù)域上n維線性空間的任意s個非平凡子空間。試證：存在的一個

3、基，使這個基的n個基向量均不在中（見[2，p213],[4,p213],[5,p196]）例2（見[3，補充題4]）設(shè)是線性空間的兩個非平凡子空間。證明：在中存在使同時成立。例3（見[3，補充題5]）設(shè)是線性空間的s個非平凡子空間，證明：中至少有一個向量不屬于中任何一個。例4（見[6]）第八題（及解法）設(shè)為數(shù)域上n維線形空間（n≥1）.證明：必存在中一個無窮的向量序列使得中任何n個向量都是的一組基.證明：采用構(gòu)造法取n維線性空間的一組基取另一向量則顯然有從以上n+1向量中選出n個均可作為n維線性空間的

4、一組基.4同樣，依次取向量使得這樣得到一個無窮的向量序列.下證，從中任選n個，它們均線性無關(guān)從構(gòu)造中易得，從而不妨任選，.令得從而,…，（*）又可以證明，對角線上的元素均不為零，從而行列式不為零也即，方程組（*）僅有平凡解，即從而它們均線性無關(guān)，故問題得證.實際上，更簡單的方法來構(gòu)造令4則是無關(guān)的這是因為為范德蒙行列式例5（見[7，p49]）（英文）AgainletVbethespaceofmatricesoverF.FindabasicforVsuchthatforeachi.這個結(jié)論對也是成立的.

5、為的冪等基.例6.（見[8，定理1]）具有無窮多個冪等基.例7.（見[2，p319]）設(shè)V是數(shù)域P上全體二階對稱矩陣所成的線性空間，證明：與都是V的基.問題：是否存在的由可逆的對稱矩陣構(gòu)造的基？若有，有多少個？在相似的條件下有多少個？參考文獻[1]陳昭木、陳清華、王華雄、林亞南.高等代數(shù)（上冊），福建教育出版社，1991，福州[2]莊瓦金高等代數(shù)教程，國際華文出版社2002年[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與高等代數(shù)教研室前代數(shù)小組編王萼芳、石生明修訂，高等代數(shù)（第三版）[4]白述偉高等代數(shù)選講，黑龍江教育出

6、版社，1996[5]李師正主編高等代數(shù)解題方法與技巧，高等教育出版社，北京2004[6]南開大學(xué)2005年碩士研究生入學(xué)考試試題[7]K.HoffmanandR.Kunze,LineasrAlgebra(SecondEdition),Prentice-Hall,Inc.,EnglewoordCliffs,NewJersery(1971),49.[8]楊忠鵬全矩陣代數(shù)上的冪等陣，安順師專學(xué)報，1989（2），97-100.4