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1、§1定積分的概念在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要求一類特殊的和式的極限，這類特殊的和式的極限問題導(dǎo)出了定積分的概念.三個典型問題1.設(shè)求曲邊梯形A的面積S(A),其中yxO2.已知質(zhì)點運(yùn)動的速度為，求從時3.已知非勻速分布線狀物體的密度函數(shù)求線狀物體的質(zhì)量m.顯然,這就是說,在“常值”、“均勻”、“不變”的情況下，刻a到時刻b，質(zhì)點運(yùn)動的路程s.可以用簡單的乘法進(jìn)行計算.而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題中心思想：是“非常值”、“不均勻”、“有變化”的情形，如何來解決這些問題呢？合理地
2、歸為一類特殊的和式的極限.把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊梯形之和，每個小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替代，雖然為此會產(chǎn)生誤差，但當(dāng)分割越來越細(xì)的一分為二yxO時候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面積.一分為四yxO一分為八yxO一分為nyxO可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.過程呢？可以分三步進(jìn)行.1.分割：把曲邊梯形A分成n個小曲邊梯形a即在上找到個分點如何嚴(yán)格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的2.近似:3.逼近：不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是S總有差別.當(dāng)分割越來越細(xì)時，和
3、式問題是：越細(xì)？就會越來越小.下面依次討論這兩個問題.與曲邊梯形的面積矩形，因此黎曼和來表示分割T越來越細(xì),因為可能某些的長度不趨于0.就能保證分割越來越細(xì).總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對于另外兩個實際問題,也可類似地歸結(jié)為黎曼和給定的能夠找到的極限.定義1并稱J為f在[a,b]上的及任意定積分,記作注1列極限，也不是函數(shù)極限.注2中,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時,顯然要求因此定積分既不是數(shù)關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點：f(x)在每個小區(qū)間[xi–1,xi]上變化不大,這相當(dāng)于要求f(x)有某種程度
4、上的連續(xù)性.[a,b]上的一致連續(xù)性,可證f(x)在[a,b]上可積.下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法.解例1存在.為方便起見,令以后將知道f(x)在[a,b]上連續(xù)時,利用f(x)在則此時黎曼和的極限化為的極限.于是注這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性.因為可積,所以可取特殊的分割(等分)和特殊的介點
