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《二次型和二次型的化簡》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第3節(jié)二次型與二次型的化簡下頁一、二次型的定義二、二次型的化簡（矩陣的合同）二次型概念的引入下頁Oxyax2+2bxy+cy2=1abbcOxyx225+y29=1351/25001/9定義1含有n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式叫做n元二次型，當(dāng)二次型的系數(shù)aij(i,j=1,2,…,n)都是實(shí)數(shù)時(shí),稱為實(shí)二次型.一、二次型的定義特別地,只含有平方項(xiàng)的n元二次型稱為n元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.下頁練習(xí)：下頁二次型的矩陣形式令下頁得下頁下頁，其中實(shí)對稱矩陣稱A為二次型系數(shù)矩陣,A的秩稱為二次型的秩.若二次型f是標(biāo)準(zhǔn)形,即其系數(shù)矩陣是對角矩陣.下頁,其中,其中則f的矩陣形式為例1.寫出下列二次型的矩陣形式
2、并求該二次型的秩.(1)(2)(2)二次型系數(shù)矩陣為因r(A)=3,故二次型的秩等于3.因r(B)=2,故二次型的秩等于2.解:(1)二次型下頁系數(shù)矩陣為二次型的化簡下頁二次曲線ax2+bxy+cy2=1m(x')2+n(y')2=1OxyyOxx=x?cos??y?sin?y=x?sin?+y?cos?由變量y1,y2,…,yn到x1,x2,…,xn的線性變換若
3、P
4、≠0，則上述線性變換稱為可逆(滿秩)線性變換.記作X=PY.問題：如何找一個(gè)可逆線性變換X=PY，使得將其代入二次型后，得到新的二次型只含變量的平方項(xiàng)的形式(標(biāo)準(zhǔn)形).化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形下頁現(xiàn)將X=PY代入二次型，得上式右
5、端是關(guān)于變量y1,y2,…,yn的二次型.如果其為標(biāo)準(zhǔn)形為下頁比較上式兩端得：所以，尋求滿秩線性變換X=PY，把二次型f(X)化為標(biāo)準(zhǔn)型，從矩陣的角度講，就是尋求滿秩方陣P，使得二、矩陣的合同定義2設(shè)A,B為n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使則稱A與B合同，也稱矩陣A經(jīng)合同變換化為B，記做AB可逆變換P稱為合同變換矩陣。性質(zhì)：（4）合同變換不改變矩陣的秩（5）對稱矩陣經(jīng)合同變換仍化為對稱矩陣下頁我們知道，化二次型f(X)為標(biāo)準(zhǔn)形的問題，就是尋求可逆方陣P，使A合同于對角矩陣，即定理1任何一個(gè)實(shí)對稱矩陣A都合同于對角矩陣。即對于一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣A，總存在可逆矩陣P，使得下頁其中r是矩陣
6、A的秩。當(dāng)r>0時(shí)，常用化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法有：（1）配方法（2）合同變換法（3）正交變換法結(jié)束
