二次型-正定二次型.ppt

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1、quadraticform二次型一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.（我們僅討論實二次型）二、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系．§5.1二次型及其矩陣表示注意2.二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因為如此，討論二次型時矩陣是一個有力的工具.若且，則1.二次型的矩陣總是對稱矩陣，即（這表明在選定文字　　　　　下，二次型完全由對稱矩陣A決定.)（1）約定①中aij=aji

2、，i

3、cij

4、≠0,則稱③為非退化線性替換(non-degeneratelineartransformation).positivedefinitequadraticform正定二次型判定方法特征

5、值法:對稱矩陣A正定的充要條件是A的特征值全大于0?；瘶藴市畏?將二次型矩陣化為標準型看系數是否都為正。定義法:用正定矩陣的定義進項判定。順序主子式法:對稱矩陣A正定的充要條件是A的所有順序主子式全大于0。慣性指數判別法:一個對稱矩陣（或相應二次型）的慣性指數其中1的個數p稱為正慣性指數合同法：實對稱矩A正定的充要條件是A與單位矩陣E合同。正定二次型一正定二次型的定義1定義設為實二次型，若對任何都有則稱二次型是正定的（負定的），并稱其對應的矩陣為正定矩陣例是正定的不是正定的（負定矩陣）。證明：必要性：記為即由

6、可逆矩陣可知道又故是正定的。對任意的記為即由可逆矩陣可知道又故是正定的。充分性：其中對任意的二正定的判斷方法慣性指數判別法為正定的當且僅當fn元實二次型定理的正慣性指數推論矩陣A是正定的當且僅當A的全部特征值均為正例設n階矩陣A是正定矩陣，證明（m為正整數）也正定矩陣注為負定的當且僅當n元實二次型的負慣性指數為主子式判別法（1）定義設n階方陣方陣A的前k行和前k列所成的子式稱為矩陣A的k階主子式（2）為正定的當且僅當n元實二次型定理對稱矩陣A的各階主子式都大于零。注為負定的當且僅當n元實二次型對稱矩陣A的各階

7、滿足證明：為負定的當且僅當二次型即二次型為正定的。顯然二次型的k階主子式為故由定理可得。例1二次型為t滿足什么條件時，二次型是正定的；t滿足什么條件時，二次型是負定的；解：二次型矩陣為則當即時二次型是正定的當即時二次型是負定的定義法例3設矩陣A,B矩陣正定矩陣，證明均是正定矩陣。證明：對任意的故是正定矩陣。對任意的2n維記其中為n維向量由可得或故例4設滿足證明是正定二次型矩陣。證明：故A是對稱矩陣。對任意的由可得記則故是正定二次型矩陣。例5設是正定矩陣,證明反對稱矩陣,是正定矩陣,證明：對任意的是正定矩陣,反

8、對稱矩陣,得故對任意的是正定矩陣,有由合同法§5.1二次型及其矩陣表示1.合同具有對稱性（symmetry）：反身性（reflexivity）：注意1、定義設　，若存在可逆矩陣使，則稱A與B合同(congruent).