二節(jié)函數(shù)及其表示法

二節(jié)函數(shù)及其表示法

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1、第二節(jié)函數(shù)及其表示法一、變量與常量二、函數(shù)的概念三、函數(shù)的表示法一、變量與常量如果一個(gè)量在某個(gè)過程中是變化的,即可以取不同的數(shù)值,則稱這種量為變量;如果一個(gè)量在某過程中保持不變,總?cè)⊥恢?,則稱這種量為常量.變量通常用x,y,t,表示,常量通常用a,b,c,表示.二、函數(shù)的概念變量與變量之間的依賴關(guān)系是高等數(shù)學(xué)研究的主要問題.先看下面的例子.其中g(shù)為重力加速度,當(dāng)時(shí),s=s0,物體落至地面.當(dāng)t在閉區(qū)間上每取一個(gè)確定的值時(shí),s就有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).例1設(shè)物體在初始時(shí)刻(t=0)的位置為地面上方

2、s0(s0>0)處,自由下落.以向下方向作為正向,初始位置作為原點(diǎn),則位移s與下落時(shí)間t的關(guān)系為例2按郵局規(guī)定,寄往國(guó)內(nèi)的外埠普通信函每件不得超過2000g,不超過100g時(shí),每重20g資費(fèi)為1.2元,余數(shù)不足20g,以20g計(jì),超過100g不超過2000g時(shí),每重100g資費(fèi)為2元,余數(shù)不足100g以100g計(jì).每件掛號(hào)另收資費(fèi)3元.試列出資費(fèi)s(元)與掛號(hào)信函重量x(g)之間的關(guān)系.解從重量大于0到100g止共分5段,為(0,20],(20,40],…,(80,100].從重量大于100g到2

3、000g止共分19段,為(100,200],(200,300],…,(1900,2000].于是可寫出s與x的關(guān)系為當(dāng)當(dāng)當(dāng)x在區(qū)間(0,2000)上每取一個(gè)確定的值時(shí),s有唯一的值與之對(duì)應(yīng).定義1.1設(shè)x與y是兩個(gè)變量,X是實(shí)數(shù)集R的子集.如果對(duì)任何確定的,按照一定的規(guī)則f,變量y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù),記作兩個(gè)變量之間的這種依賴關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系.稱X為該函數(shù)的定義域.稱x為自變量,稱y為因變量,有時(shí)也常稱f(x)為x的函數(shù).y=f(x)當(dāng)自變量x取數(shù)值時(shí),與對(duì)應(yīng)的因變量y的值稱

4、為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的函數(shù)值,記為,或.當(dāng)x取遍X的各個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的變量y取值的全體組成數(shù)集稱做這個(gè)函數(shù)的值域.常記為在函數(shù)y=f(x)中記號(hào)f表示自變量x與因變量y的對(duì)應(yīng)規(guī)則,也可用等.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)規(guī)則也相同(從而值域也相同),那么它們就應(yīng)該用同一個(gè)記號(hào)來表示.在實(shí)際問題中,函數(shù)的定義域是由實(shí)際意義確定的.如例1中的定義域?yàn)?例2中的定義域?yàn)?0,2000]在研究由公式表達(dá)的函數(shù)時(shí),我們約定:函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的一切實(shí)數(shù)值所組成的數(shù)集.例如,的

5、定義域,函數(shù)的定義域是.例3求函數(shù)的定義域,并判斷它與g(x)=x-3是否為同一函數(shù)解當(dāng)分母x+3≠0時(shí),函數(shù)f(x)才有意義.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤≠-3的全體實(shí)數(shù),用區(qū)間表示為f(x)與g(x)的定義域不同,所以f(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù).而g(x)=x-3的定義域是.例4求函數(shù)        的定義域.解f(x)由兩個(gè)表達(dá)式相加而成,表達(dá)式有意義的范圍為表達(dá)式有意義的范圍為取其公共部分,故此函數(shù)的定義域?yàn)榛驅(qū)懗蒣-2,1).例5設(shè)f(x)=ax2+bx+c,其中a,b,c均為常數(shù).求f(

6、0),f(1),f(x0),f(x+x0)及f(x0+h)-f(x0).解f(0)=a02+b0+c=c.f(1)=a+b+c=c.f(x+x0)=a(x+x0)2+b(x+x0)+c=a(x2+2x0x+)+bx+bx0+c=ax2+(2ax0+b)x+(a+bx0+c).f(x0)=a+bx0+c.f(x0+h)-f(x0)=a(x0+h)2+b(x0+h)+c-(a+bx0+c)=ax0+2ax0h+ah2+bx0+bh+c-(a+bx0+c)=(2ax0+b)h+ah2如果自變量在定義域內(nèi)

7、任取一個(gè)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值只有一個(gè),這種函數(shù)稱為單值函數(shù),一個(gè)x對(duì)應(yīng)多個(gè)y值的函數(shù)稱為多值函數(shù).以后凡沒有特別特別說明,本書討論的函數(shù)都是指單值函數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閄.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于任意的,通過函數(shù)y=f(x)都可確定一個(gè)點(diǎn)M(x,y),當(dāng)x取遍定義域X中的所有值時(shí),點(diǎn)M(x,y)描出的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形.一個(gè)函數(shù)的圖形通常是一條曲線.因此,又稱函數(shù)y=f(x)的圖形為曲線y=f(x).三、函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有三種.(1)表格法自變量x與因變量y

8、的一些對(duì)應(yīng)值用表格列出,這樣函數(shù)關(guān)系就用表格法來表示出來.例如,大家熟悉的對(duì)數(shù)表、開方表和三角函數(shù)表等都是用表格法來表示函數(shù)的.(2)圖示法函數(shù)y=f(x)的圖形直觀地表達(dá)了自變量x與因變量y之間的關(guān)系.(1)公式法用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,是函數(shù)的公式表示法.如例1,例2都是用公式法表示函數(shù).當(dāng)自變量在不同的范圍內(nèi)取值時(shí),對(duì)應(yīng)法則不能用一個(gè)公式表示,而要用用兩個(gè)或兩個(gè)以上的公式來表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù)(如例6).例6設(shè)當(dāng)當(dāng)求解如圖故故P7圖f(x)的定義域是

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