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1、第三章控制網(wǎng)平差完成控制網(wǎng)測量的外業(yè)工作后要進(jìn)行內(nèi)業(yè)計(jì)算,內(nèi)業(yè)計(jì)算分為概算、平差計(jì)算和編制控制點(diǎn)成果表。本章重點(diǎn)介紹獨(dú)立三角網(wǎng)的條件平差方法。第一節(jié)測量平差的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)條件平差原理第三節(jié)獨(dú)立三角網(wǎng)條件平差第一節(jié)測量平差的數(shù)學(xué)模型一、必要觀測與多余觀測在測量工作中,最常見的問題是要確定某些幾何量的大小。由各種幾何量構(gòu)成的模型(測量中就是各種控制網(wǎng))就是幾何模型。為了確定一個(gè)幾何模型,并不需要知道該模型中所有元素的大小,而只需要知道其中部分元素,其它元素可以通過已知的元素確定。能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素,稱必要元素;確定必要元素的觀測
2、稱為必要觀測。必要元素的個(gè)數(shù)用t表示。為了確定一個(gè)幾何模型就必須進(jìn)行觀測。如果觀測個(gè)數(shù)n少于必要元素的個(gè)數(shù),即n<t,顯然無法確定該模型,出現(xiàn)了數(shù)據(jù)不足的情況;若觀測了t個(gè)獨(dú)立量,n=t,則可唯一地確定該模型。在這種情況下,如果觀測結(jié)果中含有錯(cuò)誤,將無法發(fā)現(xiàn)。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,并提高測量成果的精度,就必須使n>t,即必須進(jìn)行多余觀測。多余觀測的個(gè)數(shù)在測量中又稱“自由度”。令r=n–t顯然,r就是多余觀測數(shù)。例如:為確定三角形ABC,只需要3個(gè)必要觀測,它們可以是:S1,a,b或:S1,a,c或:S1,S2,b或:S1,S2,S3……CcS2S3
3、baBS1A如果觀測了所有六個(gè)元素,則有3個(gè)多余觀測二、平差的數(shù)學(xué)模型測量中是通過觀測來確定控制網(wǎng)中的某些幾何量,因而考慮的模型總是數(shù)學(xué)模型。因?yàn)橛^測量是一種隨機(jī)變量,所以平差的數(shù)學(xué)模型應(yīng)同時(shí)包含函數(shù)模型和隨機(jī)模型。函數(shù)模型和隨機(jī)模型總稱為數(shù)學(xué)模型。函數(shù)模型是由描述觀測量和待求量間的函數(shù)關(guān)系的模型,隨機(jī)模型是描述觀測量及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)的模型。建立這兩種模型是測量平差中最基本而首先考慮的問題。測量平差通常是基于線性函數(shù)模型的,當(dāng)函數(shù)模型為非線性形式時(shí),是將其用泰勒公式展開,并取其一次項(xiàng)化為線性形式。對于一個(gè)實(shí)際平差問題,可建立不同形式的函數(shù)模
4、型,相應(yīng)地就有不同的平差方法。測量中常見的控制網(wǎng)平差方法有條件平差和間接平差兩種。1、條件平差法以觀測量之間必須滿足一定的條件方程為函數(shù)模型的平差方法,稱為條件平差法。例如:為了確定B、C、D三點(diǎn)的高程,其必要觀測數(shù)t=3,實(shí)際觀測了6段高差,故多余觀測數(shù)r=n–t=3,應(yīng)列出3個(gè)線性無關(guān)條件方程.h1ABh2Ch3h4h5h6D這個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)可以列出7個(gè)條件方程,其中只有3個(gè)是相互獨(dú)立的,我們?nèi)。菏街校罕硎居^測量hi的平差值。這就是用平差值表達(dá)的條件方程。(a)由于平差值應(yīng)該等于觀測值與其改正數(shù)之和,即:代入(a)式得:其中:(b)令:V=(v1v
5、2v3v4v5v6)T則條件方程可表達(dá)為以下矩陣形式:AV+W=0(c)這就是條件平差函數(shù)模型的一般形式。條件方程AV+W=0中,A-為r?n階矩陣,稱為系數(shù)矩陣;V-為n?1列陣,稱為改正數(shù)向量;W-為r?1列陣,稱為閉合差向量。2、間接平差法一個(gè)幾何模型中,只會有t個(gè)獨(dú)立量,如果平差時(shí)就以這t個(gè)獨(dú)立量為參數(shù),模型中的所有量都一定是這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù),亦即每個(gè)觀測量都可表達(dá)成所選t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù),將每一個(gè)觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù),即列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式,以此為平差的函數(shù)模型,稱為間接平差法,又稱參數(shù)平
6、差法。例如:△ABC中,觀測量為其中的三個(gè)內(nèi)角,選定∠A和∠B為平差參數(shù),設(shè)為X1和X2,將每一個(gè)觀測量均表達(dá)為這兩個(gè)平差參數(shù)的函數(shù),構(gòu)成數(shù)學(xué)模型:CL3X1X2L1L2AB則間接平差的函數(shù)模型可用以下矩陣形式表達(dá):L+V=BX+d或:V=BX–l此式稱為間接平差誤差方程。式中,L為觀測值向量(n?1階);V為改正數(shù)向量(n?1階);B為系數(shù)矩陣(n?t階);X為未知數(shù)向量(t?1階);l=L–d為常數(shù)矩陣(n?1階)。第二節(jié)條件平差原理?xiàng)l件方程AV+W=0中,A為r?n階矩陣,V為n?1列陣,即有r個(gè)方程,n個(gè)未知數(shù),且r
7、窮多組解。然而,根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則,觀測量的最或然值應(yīng)該滿足VTPV=min。在AV+W=0的條件下確定VTPV的最小值,這在數(shù)學(xué)中是求函數(shù)Ф=VTPV的條件極值問題。條件平差,實(shí)際上是確定條件方程滿足VTPV=min的唯一解。根據(jù)計(jì)算函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法則組成新函數(shù):Ф=VTPV-2KT(AV+W)其中:K=(k1,k2,…,kr)T是拉格朗日乘數(shù),測量平差中稱之為聯(lián)系數(shù)向量。顯然,只要令Ф對V的一階導(dǎo)數(shù)等于零就可以求出VTPV的極值。矩陣求導(dǎo)的兩個(gè)公式:(1)設(shè)C為常數(shù)陣,X為列陣,則(2)設(shè)Y、Z均為列陣,則:一、改正數(shù)方程令其等于
8、零,注意到(PV)T=VTP,從而有:VTP=KTA轉(zhuǎn)置后左乘P–1得:V=P–1ATK(1)該公式表達(dá)了改正數(shù)V與聯(lián)系數(shù)K的關(guān)系。函數(shù)