多元正態(tài)分布1

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1、第一章多元正態(tài)分布目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1多元分布的基本概念§1.2統(tǒng)計(jì)距離和馬氏距離§1.3多元正態(tài)分布§1.4均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)§1.5常用分布及抽樣分布2021/10/81中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心第一章多元正態(tài)分布一元正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和實(shí)際應(yīng)用中都有著重要的地位。同樣，在多變量統(tǒng)計(jì)學(xué)中，多元正態(tài)分布也占有相當(dāng)重要的位置。原因是：許多隨機(jī)向量確實(shí)遵從正態(tài)分布，或近似遵從正態(tài)分布；對(duì)于多元正態(tài)分布，已有一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，并且得到了許多完整的結(jié)果。目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/10/82中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心第一章多

2、元正態(tài)分布多元正態(tài)分布是最常用的一種多元概率分布。除此之外，還有多元對(duì)數(shù)正態(tài)分布，多項(xiàng)式分布，多元超幾何分布，多元分布、多元分布、多元指數(shù)分布等。本章從多維變量及多元分布的基本概念開始，著重介紹多元正態(tài)分布的定義及一些重要性質(zhì)。目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/10/83中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心§1.1多元分布的基本概念目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)§1.1.3多元變量的獨(dú)立性§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征2021/10/84中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心§1.1.1隨機(jī)向量表示對(duì)同一個(gè)體觀測(cè)的個(gè)變量。若觀

3、測(cè)了個(gè)個(gè)體，則可得到如下表1-1的數(shù)據(jù)，稱每一個(gè)個(gè)體的個(gè)變量為一個(gè)樣品，而全體個(gè)樣品形成一個(gè)樣本。假定所討論的是多個(gè)變量的總體，所研究的數(shù)據(jù)是同時(shí)觀測(cè)個(gè)指標(biāo)（即變量），又進(jìn)行了次觀測(cè)得到的，把這個(gè)指標(biāo)表示為常用向量目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/10/85中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心橫看表1-1，記，它表示第個(gè)樣品的觀測(cè)值。豎看表1-1,第列的元素表示對(duì)第個(gè)變量的n次觀測(cè)數(shù)值。下面為表1-1…n…2…1…變量序號(hào)目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量2021/10/86中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心因此,樣本資料矩陣可用矩陣語言表示為:定義1.1

4、設(shè)為個(gè)隨機(jī)變量，由它們組成的向量稱為隨機(jī)向量。目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.1隨機(jī)向量若無特別說明，本書所稱向量均指列向量2021/10/87中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心定義1.2設(shè)是一隨機(jī)向量，它的多元分布函數(shù)是式中，，并記成?！?.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)描述隨機(jī)變量的最基本工具是分布函數(shù)，類似地描述隨機(jī)向量的最基本工具還是分布函數(shù)。目錄上頁下頁返回結(jié)束多元分布函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)此處從略。2021/10/88中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心§1.1.2分布函數(shù)與密度函數(shù)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.3：設(shè)=,若存在一個(gè)非負(fù)的函數(shù),使得對(duì)一切成立，則稱

5、（或）有分布密度并稱為連續(xù)型隨機(jī)向量。一個(gè)維變量的函數(shù)能作為中某個(gè)隨機(jī)向量的分布密度，當(dāng)且僅當(dāng)2021/10/89中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心§1.1.3多元變量的獨(dú)立性目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)一切成立。若為的聯(lián)合分布函數(shù)，分別為和的分布函數(shù)，則與獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)（1.4）定義1.4：兩個(gè)隨機(jī)向量和稱為是相互獨(dú)立的，若注意:在上述定義中，和的維數(shù)一般是不同的。若有密度，用分別表示和的分布密度，則和獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)(1.5)2021/10/810中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征是一個(gè)維向量，稱為均值向量.目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)為常

6、數(shù)矩陣時(shí)，由定義可立即推出如下性質(zhì)：1、隨機(jī)向量的均值設(shè)有個(gè)分量。若存在，定義隨機(jī)向量的均值為)(????éPPm)()6.1)()((2121μX=úúúúùêêêêé=úúúúùêêêê=XEXEXEEmm2021/10/811中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征目錄上頁下頁返回結(jié)束2、隨機(jī)向量自協(xié)方差陣稱它為維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣，簡(jiǎn)稱為的協(xié)方差陣。稱為的廣義方差，它是協(xié)差陣的行列式之值。2021/10/812中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征3、隨機(jī)向量X和Y的協(xié)差陣設(shè)分別

7、為維和維隨機(jī)向量，它們之間的協(xié)方差陣定義為一個(gè)矩陣，其元素是，即當(dāng)A、B為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可推出協(xié)差陣有如下性質(zhì)：2021/10/813中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征（3）設(shè)X為維隨機(jī)向量，期望和協(xié)方差存在記則對(duì)于任何隨機(jī)向量來說，其協(xié)差陣∑都是對(duì)稱陣，同時(shí)總是非負(fù)定（也稱半正定）的。大多數(shù)情形下是正定的。2021/10/814中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1.4隨機(jī)向量的數(shù)字特征4、隨機(jī)向量X的相關(guān)陣若隨機(jī)向量的協(xié)差陣存在,且每個(gè)分量的方差大于零，則X的相關(guān)陣定義為:也

8、稱為分量與之間的（線性）相關(guān)系數(shù)。20