多元正態(tài)分布.doc

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1、第二章多元正態(tài)分布多元統(tǒng)計分析涉及到的都是隨機向量或多個隨機向量放在一起組成的隨機矩陣，在介紹正態(tài)分布之前，先論述有關隨機向量的基本概念。為了便于理解概念和性質(zhì)，借助復習一元統(tǒng)計分析中有關概念和性質(zhì)，自然推廣給出多元統(tǒng)計分析中相應的概念和性質(zhì)。§2.1基本概念1隨機向量的概率分布對許多社會經(jīng)濟現(xiàn)象進行認識和研究時，往往涉及多個隨機變量。一般說來，這些隨機變量之間又有某種聯(lián)系，因而需要把這些隨機變量作為一個整體（即向量）來研究。定義1將p個隨機變量的整體稱為p維隨機向量，記為。在多元統(tǒng)計分析中，仍然將所研究對象的全體稱為總體，它是由許多（有限或無限）的個體構(gòu)

2、成的集合，如果構(gòu)成總體的個體是具有p個需要觀測指標的個體，我們稱這樣的總體為p維總體（或p元總體）。由于從p維總體中隨機抽取一個個體，其p個指標觀測值是不能事先精確知道的，它依賴于被抽到的個體，因此p維總體可用一個p維隨機向量來表示。這種表示便于人們用數(shù)學方法去研究p維總體的特性。這里“維”（或“元”）的概念，表示共有幾個分量，例如要研究某類企業(yè)的三項經(jīng)濟效益指標，則所有這類企業(yè)的三項經(jīng)濟效益指標就構(gòu)成一個三元總體。如果三項指標分別用表示，則三元總體就用三維隨機向量來表示，對隨機向量的研究仍然限于討論離散型和連續(xù)型兩類隨機向量。先回顧一下一元統(tǒng)計中分布函數(shù)

3、和密度函數(shù)定義。設X是一個隨機變量，稱為的概率分布函數(shù)或簡稱為分布函數(shù)，記為。若隨機變量在有限或可列個值上取值，記，且則稱X為離散型隨機變量，并稱為X的概率分布。設，若存在一個非負函數(shù)，使得對一切實數(shù)x有：則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱為X的分布密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)。一個函數(shù)能作為某個隨機變量X的分布密度函數(shù)的重要條件是：（1），對一切實數(shù)x；（2）。定義2設是維隨機向量，它的多元分布函數(shù)定義為：記為，其中，表示p維歐氏空間。多維隨機向量的統(tǒng)計特性可用它的分布函數(shù)來完整地描述。定義3設是p維隨機向量，若存在有限個或可列個p維數(shù)向量記且滿足，則稱X為離散型隨

4、機向量，稱為X概率分布。設，若存在一個非負函數(shù)，使得對一切有則稱X為連續(xù)型隨機向量，稱為分布密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或分布密度。一個p元函數(shù)能作為中某個隨機向量的密度函數(shù)的主要條件是：（1）；（2）。離散型隨機向量的統(tǒng)計性質(zhì)可由它的概率分布完全確定，連續(xù)型隨機向量的統(tǒng)計性質(zhì)可由它的分布密度完全確定。例1試證函數(shù)：為隨機向量的密度函數(shù)。證：只要驗證滿足密度函數(shù)兩個條件即可：（1）顯然，有（2）定義4設是維隨機向量，稱由它的個分量組成的子向量的分布為X的邊緣（或邊際）分布，相對地把X的分布稱為聯(lián)合分布。通過交換X中各分量的次序，總可假定正好是X的前q個分量，其

5、余個分量為，即，相應的取值也可分為兩部分。當X的分布函數(shù)是時，的分布函數(shù)即邊緣分布函數(shù)為：??當X有分布密度時（亦稱聯(lián)合分布密度函數(shù)），則也有分布密度，即邊緣密度函數(shù)為：例2對例1中的求邊緣密度函數(shù)。解：同理定義5若p個隨機變量的聯(lián)合分布等于各自的邊緣分布的乘積，則稱是相互獨立的。例3問例2中的與是否相互獨立？解：，故與相互獨立。需要注意的是：由相互獨立，可推知任何與獨立，但反之不真。2隨機向量的數(shù)字特征定義6設，若存在且有限，則稱為X的均值（向量）或數(shù)學期望，有時也把和分別記為和，即，容易推得均值（向量）具有以下性質(zhì)：（1）（2）（3）其中X、Y為隨機向

6、量，A、B為大小適合運算的常數(shù)矩陣。定義7設，稱為X的方差或協(xié)差陣，有時把簡記為，簡記為，從而有；稱隨機向量X和Y的協(xié)差陣為：當X=Y時，即為D(X)。若的協(xié)差陣存在，且每個分量的方差大于零，則稱隨機向量X的相關陣為，其中為相關系數(shù)。設標準離差陣則有即這說明從可得到R，也可從和R得到，且由，可知例4設則可得從而可得相關陣為：???若，則稱X和Y不相關，由X和Y相互獨立易推得，即X和Y不相關，但反過來，當X和Y不相關時，一般不能推知它們獨立。容易推得協(xié)差陣有以下性質(zhì)：（1），即X的協(xié)差陣是非負定陣。（2）對于常數(shù)向量a，有。（3）設A為常數(shù)矩陣，則。（4）。

7、其中a，A，B為大小適合運算的常數(shù)向量和矩陣?！?.2多元正態(tài)分布的定義及基本性質(zhì)多元正態(tài)分布在多元統(tǒng)計分析中所占的重要地位，如同一元統(tǒng)計分析中一元正態(tài)分布所占的重要地位一樣，多元統(tǒng)計分析中的許多重要理論和方法都是直接或間接建立在正態(tài)分布的基礎上，多元正態(tài)分布是多元統(tǒng)計分析的基礎。此外，在實用中遇到的隨機向量常常是服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。因此現(xiàn)實世界中許多實際問題的解決辦法都是以總體服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布為前提的。1多元正態(tài)分布的定義多元正態(tài)分布有多種定義方法，下面給出常用的三種等價定義（另兩種定義在附注中給出）。定義8若p維隨機向量的密度函數(shù)為：

8、其中，是p維向量，是p階正定陣，則稱X服從p元正態(tài)分布，也稱X為p