小升初奧賽幾何五大模型

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1、幾何五大模型一、五大模型簡介(1)等積變換①、等底等高的兩個三角形面積相等②、兩個三角形高相等,面積之比等于底之比,如圖1③、兩個三角形底相等,面積在之比等于高之比,如圖2④、在一組平行線之間的等積變形,如圖3圖1圖2圖3例、如圖,三角形ABC的面積是24,D、E、F分別是BC、AC、AD的中點,求三角形DEF的面積。解:S△ADC=12S△ABC=12×24=12S△ADE=12S△ADC=12×12=6;S△DEF=12S△ADE=12×6=3(2)鳥頭(共角)定理模型①、兩個三角形中有一個角相等或互補,這兩個三角形叫共角三角形;②、共角三角形的面積之比等于對應角(相等角或互補

2、角)兩夾邊的乘積之比。?如圖下圖三角形ABC中,D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線上的點S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE例、如圖在ΔABC中,D在BA的延長線上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,△ADE的面積為12平方厘米,求ΔABC的面積。解:由題意知:S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE=52×53=256∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50平方厘米(3)蝴蝶模型1、梯形中比例關系(“梯形蝴蝶定理”)①S2=S4梯形兩翼相等②S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab③梯形S對應的分數(shù)為(a+b)2例、如圖,梯形

3、ABCD,AB與CD平行,對角線AC、BD交于點O,已知△AOB、△BOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米,求梯形ABCD的面積。解:S△AOB:S△BOC=25:35=5:7S△AOB:S△DOC=AB2:DC2=52:72=25:49∴S△DOC=49又S△AOD=S△BOC=35∴SABCD=25+35+35+49=144平方厘米2、任意四邊形中的比例關系(“蝴蝶定理”):①S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4②AO:OC=S1:S4=S2:S3=S1+S2:(S4+S3)例、如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,如果三角形ABD的面積等于三角形BC

4、D面積的1/3,且AO=2,求OC解:AO:OC=S△ABD:S△BCD=1:3OC=2×3=6(4)相似模型?1、相似三角形:形狀相同,大小不相等的兩個三角形相似;?2、尋找相似模型的大前提是平行線:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。?3、相似三角形性質(zhì):??①相似三角形的一切對應線段(對應高、對應邊)的比等于相似比;??②相似三角形周長的比等于相似比;??③相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類,注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線?、貯DAB=AEAC=DEBC=AFAG②S△

5、ADE:S△ABC=AD2:AB2例、如圖,已知在平行四邊形ABCD中,AB=16、AD=10、BE=4,那么FC的長度是多少?解:BF:FC=BE:CD=4:16=1:4FC=10×41+4=8(5)燕尾模型①S△AGB:S△AGC=S△BGE:S△CGE=EB:EC②S△BGA:S△BGC=S△GFA:S△GFC=FA:FC③S△CGA:S△CGB=S△GDA:S△GDB=DA:DB例、如圖,E、D分別在AC、BC上,且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2,AD與BE交于點F,四邊形DFEC的面積等于22平方厘米,求三角形ABC的面積。解:連接CF,設S△BDF=1份,則S△

6、CDF=2份,S△ABF=2份則S△AFC=4份,S△CFE=4×35=2.4份S△ABC=9×222+2.4=45(平方厘米)二、鞏固練習1、如右圖,AD=DB,AE=EF=FC,陰影部分的面積為5平法厘米,△ABC的面積是__________平方厘米。2、如圖,△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點,其中EC=3AE,AD=2DB,并且△ABC的面積為1平方厘米,求△ADE的面積?3、如圖,△ABC的面積為1,其中AE=3AB,BD=2BC,△BDE的面積是多少?4、如圖,△ABC的面積是180平方厘米,D是BC的中點,AD=3AE,EF=3BF,那么△AEF的面積是多少平方

7、厘米?5、如圖,在長方形ABCD中,Y是BD的中點,Z是DY的中點,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY的面積6、如圖,DE平行BC,若AD:DB=2:3,那么S△ADE:S△ECB=_________7、如圖,將三角形ABC的BA邊延長1倍到D,CB邊延長2倍到E,AC邊延長3倍到F,如果三角形ABC的面積是1,那么三角形DEF的面積是__________。8、梯形ABCD的上底AD長3厘米,下底BC長9厘米,兩對角線相交于O?!鰽BO的面積為12平方厘

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