2012全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西預賽試題及答案解析

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1、WORD格式整理2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題一、填空題（每小題10分，共分）、是這樣的一個四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為；像這樣各位數(shù)字之和為的四位數(shù)總共有個．、設數(shù)列滿足:,且對于其中任三個連續(xù)項,都有:.則通項．、以拋物線上的一點為直角頂點，作拋物線的兩個內(nèi)接直角三角形與，則線段與的交點的坐標為．、設，則函數(shù)的最大值是．、．、正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，過點作與側(cè)棱都相交的截面，那么，周長的最小值是．、滿足的一組正整數(shù)．、用表示正整數(shù)的各位數(shù)字之和，則．二、解答題（共題，合計分）、（20分）、設，且滿

2、足：，求的值．專業(yè)技術參考資料WORD格式整理、（分）如圖，的內(nèi)心為，分別是的中點，，內(nèi)切圓分別與邊相切于；證明：三線共點．、（分）在電腦屏幕上給出一個正邊形，它的頂點分別被涂成黑、白兩色；某程序執(zhí)行這樣的操作：每次可選中多邊形連續(xù)的個頂點（其中是小于的一個固定的正整數(shù)），一按鼠標鍵，將會使這個頂點“黑白顛倒”，即黑點變白，而白點變黑；、證明：如果為奇數(shù)，則可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；、當為偶數(shù)時，是否也能經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都

3、變成一色？證明你的結(jié)論．專業(yè)技術參考資料WORD格式整理解答、．提示：這種四位數(shù)的個數(shù)，就是不定方程滿足條件，的整解的個數(shù)；即的非負整解個數(shù)，其中，易知這種解有個，即總共有個這樣的四位數(shù)．（注：也可直接列舉．）、．提示：由條件得，，所以，故，而；；于是；由此得.、．提示：設，則專業(yè)技術參考資料WORD格式整理，直線方程為，即，因為，則，即，代人方程得，于是點在直線上；同理，若設，則方程為，即點也在直線上，因此交點的坐標為．、．提示：由所以，，即，專業(yè)技術參考資料WORD格式整理當，即時取得等號．、．提示：．、．提示：

4、作三棱錐側(cè)面展開圖，易知∥，且由周長最小，得共線，于是等腰，，，即，，，所以，由，則．、．提示：由于是形狀的數(shù)，所以必為奇數(shù)，而為偶數(shù)，設，，代人得，即.①而為偶數(shù)，則為奇數(shù)，設，則，專業(yè)技術參考資料WORD格式整理由①得，，②則為奇數(shù)，且中恰有一個是的倍數(shù)，當，為使為奇數(shù)，且，只有，②成為，即，于是；若，為使為奇數(shù)，且，只有，②成為，即，它無整解；于是是唯一解：．（另外，也可由為偶數(shù)出發(fā)，使為的倍數(shù)，那么是的倍數(shù)，故是形狀的偶數(shù)，依次取，檢驗相應的六個數(shù)即可．）、．提示：添加自然數(shù)，這樣并不改變問題性質(zhì)；先考慮由到

5、這一千個數(shù)，將它們?nèi)坑萌粩?shù)表示，得到集，易知對于每個，首位為的“三位數(shù)”恰有個：，這樣，所有三位數(shù)的首位數(shù)字和為.再將中的每個數(shù)的前兩位數(shù)字互換，成為，得到的一千個數(shù)的集合仍是，又將中的每個數(shù)的首末兩位數(shù)字互換，成為，得到的一千個數(shù)的集合也是，由此知．今考慮四位數(shù)：在中，首位（千位）上，共有一千個，而在中，首位（千位）上，共有一千個，因此專業(yè)技術參考資料WORD格式整理；其次，易算出，.所以，．、由，即，平方得所以，即，所以．、如圖，設交于點，連，由于中位線∥，以及平分，則，所以，因，得共圓．所以；又注意是的內(nèi)心

6、，則.連，在中，由于切線，所以，因此三點共線，即有三線共點．專業(yè)技術參考資料WORD格式整理、證明：由于為質(zhì)數(shù)，而，則，據(jù)裴蜀定理，存在正整數(shù)，使,①于是當為奇數(shù)時，則①中的一奇一偶．如果為偶數(shù)，為奇數(shù)，則將①改寫成：，令，上式成為，其中為奇數(shù)，為偶數(shù)．總之存在奇數(shù)和偶數(shù)，使①式成立；據(jù)①，,②現(xiàn)進行這樣的操作：選取一個點，自開始，按順時針方向操作個頂點，再順時針方向操作接下來的個頂點……當這樣的操作進行次后，據(jù)②知，點的顏色被改變了奇數(shù)次（次），從而改變了顏色，而其余所有頂點都改變了偶數(shù)次（次）狀態(tài)，其顏色不變；稱

7、這樣的次操作為“一輪操作”，由于每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經(jīng)過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經(jīng)過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．、當為偶數(shù)時，也可以經(jīng)過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結(jié)論：如果給定的正多邊形開初有奇數(shù)個黑點、偶數(shù)個白點，則經(jīng)過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數(shù)個白點、偶數(shù)個黑點，則經(jīng)過有限次操作，可

8、以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；為此，采用賦值法：將白點改記為“”，而黑點記為“”，改變一次顏色，相當于將其賦值乘以，而改變個點的顏色，即相當于乘了個（偶數(shù)個），由于；因此當多邊形所有頂點賦值之積為，即總共有奇數(shù)個黑點，偶數(shù)個白點時，每次操作后，其賦值之積仍為，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．但此時可以變成全黑，這是由于，