全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及答案解析.doc

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1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及解答年月日上午一、填空題（每小題分，共分）、若的值域?yàn)?，那么的取值范圍是．答案：．解：由值域，，?、四面體中，是一個(gè)正三角形，，，，則到面的距離為．答案：．解：如圖，據(jù)題意得，，于是，，因，得，從而以為頂點(diǎn)的三面角是三直三面角，四面體體積，而，若設(shè)到面的距離為，則，由，得到．、若對(duì)于所有的正數(shù)，均有，則實(shí)數(shù)的最小值是．答案：．解：由，得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．、已知是正方形內(nèi)切圓上的一點(diǎn)，記，則．答案：．解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓方程為，則正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是直線的斜率分別為，，所以，，由此立得．解2

2、：取特例，在坐標(biāo)軸上，則，這時(shí)，，、等差數(shù)列與的公共項(xiàng)（具有相同數(shù)值的項(xiàng)）的個(gè)數(shù)是．答案：．解：將兩個(gè)數(shù)列中的各項(xiàng)都加，則問題等價(jià)于求等差數(shù)列與等差數(shù)列的公共項(xiàng)個(gè)數(shù)；前者是中的全體能被整除的數(shù)，后者是中的全體能被整除的數(shù)，故公共項(xiàng)是中的全體能被整除的數(shù)，這種數(shù)有個(gè)．、設(shè)為銳角，則函數(shù)的最大值是．答案：．解：由，得，所以．當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．、若將前九個(gè)正整數(shù)分別填寫于一張方格表的九個(gè)格子中，使得每行三數(shù)的和，每列三數(shù)的和皆為質(zhì)數(shù)，你的填法是解答：（答案有多種）、把從到這個(gè)連續(xù)正整數(shù)按適當(dāng)順序排成一個(gè)數(shù)列，使得數(shù)列中每相鄰兩項(xiàng)的和為平方數(shù)，則正整數(shù)的最小值是．

3、答案：．例如，排出的一個(gè)數(shù)列為．解：這是一個(gè)操作問題，若用文字表達(dá)較為繁瑣，故適宜作為填空題直接操作．記這個(gè)連續(xù)正整數(shù)的集合為，由于，則中必有，而，所以，當(dāng)時(shí)，從到這個(gè)數(shù)可以搭配成滿足條件的三個(gè)數(shù)段：，但它們不能連接成一個(gè)項(xiàng)的數(shù)列，故應(yīng)增加后續(xù)的數(shù)，增加可使得第一段擴(kuò)充成，增加可使得第二段擴(kuò)充成，但新的三段也不能連接，還需增加新數(shù)，即，而之前的數(shù)若與鄰接，只有，這三段擴(kuò)充為，，，仍舊不能連接，應(yīng)當(dāng)借助新的平方數(shù)，從到這個(gè)數(shù)能搭配成和為的最小數(shù)是，則，而當(dāng)時(shí)，可排出上面的情形：．二、解答題（共分）、（分）如圖，是橢圓的一條直徑，過橢圓長軸的左頂點(diǎn)作的平行

4、線，交橢圓于另一點(diǎn)，交橢圓短軸所在直線于，證明：．證1：橢圓方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線方程為，……代入橢圓方程得到，，，……因此，……又據(jù)∥，則點(diǎn)坐標(biāo)為：，，……因?yàn)樵跈E圓上，則，而，，因此．……證2：易知的斜率存在，不妨令，與橢圓方程聯(lián)系，解得……,……方程為：.將方程與橢圓方程聯(lián)立，得…………，…、（分）如圖，是的旁心，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．證明：、三點(diǎn)共線；、四點(diǎn)共圓．證：1、延長到，延長到,連，為旁心，平分，……又關(guān)于對(duì)稱，平分,,、、三點(diǎn)共線。……2、過作交于，則……為內(nèi)心。連,則平分,……,、、、四點(diǎn)共圓，……,、、、四點(diǎn)共圓?！ⅲǚ郑?/p>

5、設(shè)為正數(shù)，滿足：，證明：證：據(jù)條件，即要證①也即②……將此式各項(xiàng)齊次化，因?yàn)椤擘?，只要證即……也即。此為顯然，故命題得證．…證2：由題設(shè)得：，三式相乘，故原不等式等價(jià)于證明：……上式兩邊展開并化簡得：……配方得：……即……顯然成立.……、（分）設(shè)集合，對(duì)于的任一個(gè)元子集，若存在，滿足，則稱為“好集”，求最大的正整數(shù)，（），使得任一個(gè)含的元子集皆為“好集”．解：因任何正整數(shù)可以表為形式，其中，為正奇數(shù)，于是集合可劃分為以下個(gè)子集：，……對(duì)于集合的任一個(gè)元子集，只要集中含有某一個(gè)中的至少兩個(gè)元素，因，，則；此時(shí)為好集；以下證明正整數(shù)的最大值為：……若

6、時(shí)，對(duì)于的任一個(gè)元子集，如果中含有某個(gè)中的至少兩個(gè)元素，則便是好集；如果中的個(gè)集合，每個(gè)集合中恰有一個(gè)元素在中，那么也有一個(gè)元素在中，但為單元素集，于是，而，，這說明仍是好集，因此合于要求．……下面說明當(dāng)時(shí)，存在含的集不是好集；分兩種情況：、若，取元集，則，因中任兩個(gè)不同元素，均有，故不為好集，這種不合要求．……、若，記，，令，則，且，若中存在，因，，則；若，如果，只有或者，此時(shí)的取值只能是：，或者；由于，這說明，這兩個(gè)數(shù)已被挖去，不在集合中；……若，假若，只有，這種數(shù)也已悉數(shù)被挖去，即，因此不是好集，這種也不合要求．綜上所述，的最大值為．……