【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)】論文——玻璃杯移動問題的數(shù)學(xué)模型

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1、玻璃杯移動問題的數(shù)學(xué)模型[摘要]：本文通過對各種玻璃杯移動問題進(jìn)行了分析,找出了如何簡單的解決這一類的模型.我們對“每次只能一塊兒移動一對相鄰的杯子”、“杯子的顏色為黑白兩種,要是相鄰的杯子是這兩種顏色,則移動它們時,要交換位置.”、“某種顏色的杯子有只，另一種杯子有只”以及三種顏色的杯子是如何移動的，一一給出解答，得出了對于只杯子有大于一定數(shù)值下的移動次數(shù)，并得到定理1、定理2等.由本文的定理2可以把各類玻璃杯的移動進(jìn)行解答，輕松的找到移動的方法，解答了多種不同的移動方法的可解性.雖然這一模型所得的不一定是最少的移動次數(shù)，但給出了解決這一大類型問題的一般解法.關(guān)鍵詞：玻璃杯；

2、移動方法；交錯排列；1問題的提出對于杯子的移動問題，自古以來都有著許許多多的不同移動方法，簡單的如將10只玻璃杯，左邊5只內(nèi)有汽水，右邊5只空著，你如何以最少的移動次數(shù)將這排杯子變成滿杯與空杯相互交錯.還有困難的多的古典難題：每次只能一塊兒移動一對相鄰的杯子，使結(jié)果成交錯排列.它們的普遍解是什么呢？能否將時的解題過程公式化.由這一難題還可以產(chǎn)生許多奇異的變相問題，如下面的幾個問：(1)仍然是同時移動兩只相鄰的杯子，但是如果顏色不同則要在移動過程中交換位置，這樣一對黑白的杯子就變成了一對白黑排列，請找出它的普遍解.(2)某種顏色的杯子少一只，即某種顏色的杯子有只，又有何不同.(3

3、)使用三種不同顏色的杯子，按照通常的方法移動一對相鄰的杯子，使得所有這三種顏色交相輝映，有何普遍解？2模型的假設(shè)(1)在移動過程中,不能交換相鄰的杯子.(2)一對杯子一次的移動后,原來的兩個位置應(yīng)該是空的.(3)一種顏色的杯子數(shù)為只,另一種顏色的杯子即為只3問題的分析題目給出了幾種移動方案，我們要對這幾種(特別是前面的情況)進(jìn)行分析，求出它們的相同點，加以歸納.如一般的模型我們有定理1，對“每次只能一塊兒移動一對相鄰的杯子”我們得到了定理2，即當(dāng)對杯子時（），可以在次內(nèi)把這一模型移完等等.這些都是通過我們對多種移動方案所總結(jié)出來的，對問題的解答有著一定的作用.4模型的建立與求解

4、下面我們來逐步的對問題進(jìn)行求解，對于簡單的“一排有10只玻璃杯，左邊5只內(nèi)有汽水，右邊5只空著”問題，我們可以將其擴(kuò)展為這樣的模型：有只杯子，只滿杯挨著只空杯，若要使其變成滿杯和空杯交錯排列，需如何移動.對于這個簡單的問題我們有：定理1：一般地，如果有只杯子，只滿杯，只空杯，需要：（1）如果為奇數(shù),則將對杯子互換位置,方法是號杯子與號杯子互換位置即可;（2）如果為偶數(shù),則將對杯子互換位置,方法是號杯子與號杯子互換位置即可.就可以將它們變成交錯排列,(其中)103證明:對于為奇數(shù).┅┅如圖可知,當(dāng)將與號杯子互換,總共對,可使結(jié)果成交錯排列.同樣的,對于為偶數(shù)┅┅可知將與號杯子互換

5、,總共對,可使結(jié)果成交錯排列.證畢.下面我們來看看對于:“每次只能一塊兒移動一對相鄰的杯子.”這一問題.以為例,解題過程如下圖所示:123456只要移動3次即可完成要求.而對時,沒有意義,時,無解.當(dāng)時,可得到如下移動.由以下分析,為了更容易的求出杯子的移動次數(shù),我們有這樣的定理:定理2:對于對兩種顏色的杯子,如果從左右各有只同樣顏色的杯子,移動到交錯排列有次,則反過來,從交錯排列到左右同色的移動也要次.這一定理是很明顯的,我們用上一個例子來說明,見下圖即可知是成立的,無需證明.103由定理2,以后在求解各類移動問題時,都可以將其步驟相反過來解答.現(xiàn)在我們只要在的基礎(chǔ)上再加上4

6、次移動就可以得到的移法，即只要將多出的一對杯子先放到一邊（先完成的移動），再將靠近中間的同一種顏色的兩只杯子（不管是哪一種顏色的杯子）放到同一種顏色的最邊上，將多出的一對杯子代換它的位置，就可以得到了的移法，總的要多加3次移動.所以對的模型都可以在的基礎(chǔ)上再移動3次來做到.于是：當(dāng)對杯子時（），可以在次內(nèi)把這一模型移完.通過以上問題的分析和定理,我們開始解決提出的幾個變相問題:(1)假設(shè)杯子的顏色為黑白兩種,要是相鄰的杯子是這兩種顏色,則移動它們時,要交換位置.當(dāng)有一對杯子時,無意義;當(dāng)有兩對杯子時,要移動三次當(dāng)有三對杯子時,要移動五次,且只需在兩對杯子的基礎(chǔ)上加上兩步.當(dāng)有四

7、對杯子時,可以移動五次,但如果用兩次兩對杯子的稱動方法,是需要移動六次.由此我們可以總結(jié)出這一類的模型是可以解的,每一個移動方式都可以用的移動來完成后面的模型.用前面所推導(dǎo)的方法，同樣可以解決這一問題.當(dāng)時，也只需在的基礎(chǔ)上再移動3次，就能得到所解決方法.于是：當(dāng)有對杯子時，可以在次內(nèi)把這一模型移完.(2)“某種顏色的杯子有只，另一種杯子有只”的移動方法.當(dāng)時,須移動1次.當(dāng)時,須移動3次.我們用時的結(jié)果再進(jìn)行推導(dǎo),有這樣的移動:當(dāng)時,須移動4次.103但當(dāng)我們用到的模型來推導(dǎo)時就要移動5次