教學(xué)論文：初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“分類討論”

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1、窮盡可能，優(yōu)化思維初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“分類討論”“分類討論”是中學(xué)數(shù)學(xué)中一?種極為重要的思想，此類題目在考試時(shí)也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，不一定很難，卻很容易失分。主要是小題忘記討論，大題討論不全，究其原因在于對(duì)問(wèn)題思考的不夠全面，分類討論思想滲透的不夠。本文主要針對(duì)選擇、填空類題目，綜合丿力年試卷，對(duì)需要進(jìn)行分類討論的題目歸類整理。意圖通過(guò)集合化的方式，為學(xué)生盡可能的展示各種霊要分類討論的類型，避免進(jìn)入出題老師的陷阱。木文將從“點(diǎn)討”、“弦討”、“等討”、“二次討”幾個(gè)方面，通過(guò)具體實(shí)例，從為何要討論、以及如何討論兩方面來(lái)展示分類思想在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。一、關(guān)于點(diǎn)的分類討論（點(diǎn)討）點(diǎn)可以

2、是數(shù)軸上的點(diǎn)，它表示的是數(shù)，也可以是兒何意義上的點(diǎn)。由于點(diǎn)所表示的數(shù)冇正負(fù)Z分,所以在去絕対值時(shí)我們就需要分類討論。而幾何意義上的點(diǎn)，它主耍涉及點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系、點(diǎn)與線的關(guān)系、點(diǎn)與角的關(guān)系、點(diǎn)與圓的關(guān)系，由于點(diǎn)的位置的不同就可能會(huì)引起關(guān)系的不同，所以也需耍分類討論。1、絕對(duì)值例:式了二+纟+化的所有可能的值有140

3、岡

4、A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.不確定分析：要求式子的值，首先要去掉絕對(duì)值符號(hào)，山于a為正負(fù)數(shù)（因?yàn)榻^對(duì)值在分母上，所以a、b—定不可能等于0）時(shí)所開出的絕對(duì)值不同，最后式了的值也可能不同，所以需要討論。6、匕都是正數(shù)時(shí),計(jì)命譽(yù)WT②紙b都是負(fù)數(shù)時(shí)，竺+纟+化二-1+（

5、-1）+1=-1；問(wèn)0

6、

7、血

8、③a為正數(shù)、b為負(fù)數(shù)吋，纟+訂+3=1-1-1二-1；ab\ab④a為負(fù)數(shù)、b為正數(shù)時(shí)，工+纟+呂2=T+1T二T.問(wèn)0

9、

10、胡綜上知，a式子所有可能的值為3或-1,所以答案選A。總結(jié)：在分類討論時(shí)，因?yàn)槭侨?xiàng)之和，所以第三種和第四種可以合為一種分類：a、b界號(hào)時(shí)。但分為四類適用性更廣，也更冇助于學(xué)生理解。2、點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系例：數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)対應(yīng)的數(shù)是-2,且A、B兩點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是。分析：同一直線上的點(diǎn)，此題利用數(shù)軸一目了然，但卻容易忽略一個(gè)答案，因?yàn)辄c(diǎn)B即可以在A的左側(cè)也可以在右側(cè)，如果在左側(cè)的話就是-2-3二-5,

11、在右側(cè)的話就是-2+3=1,所以點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-5或lo當(dāng)然這題也可以利川設(shè)未知數(shù)來(lái)做，設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,根據(jù)題意可得卜-(-2)

12、=3,即為x+2

13、=3，去掉絕對(duì)值符號(hào)就是x+2二±3,x二±3-2,x=l或-5,即點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-5或1?？偨Y(jié)：這兩種方法利用數(shù)軸更一目了然，但也容易遺漏。用絕對(duì)值來(lái)做，在列式上存在一點(diǎn)閑難,但不容易漏解。3、點(diǎn)在線段上/外例：已知線段AB=6cm,直線AB上冇一點(diǎn)C,并且BC=2cm,則AC=cm。分析：對(duì)于線段AB很容易畫出來(lái)，線段AB有了，點(diǎn)B的位置也就確定了，說(shuō)BC=2cm,關(guān)鍵是耍確定C的位置。因?yàn)轭}目中告訴的是點(diǎn)C在直線AB上，而

14、直線是可以兩端無(wú)限延伸的，所以點(diǎn)C既可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長(zhǎng)線上。①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，???ACBAC=AB-BC=6-2=4(cm)；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，???ABCAC二AB+BC二6+2二8(cm)綜上可知，AC=4cm或8cnic4、點(diǎn)在角內(nèi)/夕卜例：已知ZAOB二100°,ZA0C二30°,則ZBOO。分析：此題并不難，但比較容易遺漏一種情況。已知ZA0B=100°,先畫出ZA0B來(lái)，又告訴ZA0C二30°,點(diǎn)A和點(diǎn)0都已確定，關(guān)鍵是要確定出點(diǎn)C的位置。而點(diǎn)C可以在ZA0B的內(nèi)部，也可以在ZA0B的外部，作圖如下A?C■A■c-O??B

15、6?B點(diǎn)在角內(nèi)點(diǎn)在角外①當(dāng)點(diǎn)C在角內(nèi)時(shí)，ZB0C=ZA0B-ZA0C=100o-30°=70°；②當(dāng)點(diǎn)C在角外時(shí),ZBOC=ZAOB+ZA0C=100o+30°=130°。綜上知,ZB0C=70°或130°o總結(jié)：在畫固定度數(shù)的角的時(shí)候，如果已給出了角的頂點(diǎn)和一條邊，那另-?條邊則可能有兩種情況，這就是導(dǎo)致本題需要討論的根本。5、點(diǎn)在圓內(nèi)/外例：一個(gè)點(diǎn)D到圓的最短距離和最長(zhǎng)距離分別是4和8,求圓的半徑。分析：因?yàn)辄c(diǎn)到圓的最短距離為4,所以點(diǎn)一定不可能在圓上，但點(diǎn)有可能是在圓內(nèi)也可能是在I員I外。畫圖如下448通過(guò)畫圖可知，表示點(diǎn)D到圓的最短距離和最長(zhǎng)距離的線段一定在D與圓心的連

16、線所在的直線上。點(diǎn)在圓外：從圖中知,AB二4,AC=8,直徑BC=AC-AB=8-4=4,所以半徑為2；點(diǎn)在圓內(nèi)：從圖中知,AC=4,BC=8,直徑AB=AC+BC=4+8=12,所以半徑為6.綜上知，圓的半徑應(yīng)為2或6。總結(jié):點(diǎn)與圓的關(guān)系有三種，點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓內(nèi)。由于點(diǎn)到圓的最短距離為4,所以點(diǎn)不可能在圓上，只可能是在圓外或圓內(nèi)，需要根據(jù)題口所給信息進(jìn)行分類討論。二、關(guān)于弦的分類討論（弦討）在圓中關(guān)于弦的討論主要涉及弦與弦的距離以及弦所對(duì)的鬪周角。我們知道要求兩個(gè)平行的弦Z間的