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《矩形截面桿、薄壁桿的扭轉(zhuǎn) 參賽課件》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、矩形截面桿、薄壁桿的扭轉(zhuǎn)參賽選手:***矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)柱形桿截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)F(x,y)要滿足的條件:1、泊松方程:(在柱形桿橫截面所組成區(qū)域R內(nèi))。2、邊界條件:(在橫截面的周界C上)。對于矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題,能否像橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)問題一樣假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為其橫截面的周界方程?顯然這個應(yīng)力函數(shù)雖然滿足邊界條件,但不滿足泊松方程。由于根據(jù)邊界條件難以直接確定滿足基本方程的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù),因此首先簡化扭轉(zhuǎn)問題的基本方程。答:不能。假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為一狹長矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)設(shè)矩形截面的邊長為a和b。若a/b的值很大(圖1示)
2、,則稱為狹長矩形。由薄膜比擬法可以推斷,應(yīng)力函數(shù)F在橫截面的絕大部分上幾乎與坐標x無關(guān),于是有yaxbo則變?yōu)槌N⒎址匠虉D1而邊界條件為此時,方程的解為代入于是得(1-1)(1-2)(1-3)由式(1-1)求得應(yīng)力分量(1-4)這個應(yīng)力表達式除在狹長矩形截面的短邊附近外,對截面的大部分區(qū)域都是正確的。由薄膜比擬法可知,最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長邊上,即,其大小為(1-5)二任意邊長比的矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)在狹長矩形截面扭桿應(yīng)力函數(shù)(1-1)的基礎(chǔ)上,加上修正項F1,即(1-6)函數(shù)F應(yīng)滿足方程,將式(1-6)代入,得到F1滿足
3、方程(1-7)另外,應(yīng)力函數(shù)F在矩形截面的邊界處滿足如下邊界條件(1-8)所以,修正函數(shù)F1的邊界條件為(1-9)設(shè)(1-10)將(1-10)代入(1-7)中,有由此得方程(1-11)(1-12)(1-13)其中,為任意常數(shù)。解之得方程(1-12)和(1-13)的通解根據(jù)薄膜比擬法,應(yīng)力函數(shù)為坐標x和y的偶函數(shù)。所以(1-14)由邊界條件(1-9)的第二式得(1-15)由此代入式(1-15),并作如下級數(shù)由邊界條件(1-9)的第一式,確定其中的系數(shù)An等式兩邊同時乘以,并在區(qū)間(-b/2,b/2)積分,得代入式(1-16),
4、得(1-16)得到應(yīng)力函數(shù)(1-17)由式(1-2),可求得由此得(1-18)(1-19)由薄膜比擬可以推斷,最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面長邊的中點,其值為(2-20)將式(1-19)和式(1-20)分別寫成(2-21)(2-22)其中和都是僅與比值有關(guān)的參數(shù),這兩個因子通過計算可以表示如下:由表可見,對于很狹長矩形截面的扭桿,很大,則和都趨近于1/3,這時式(2-21)和(2-22)分別簡化為式(1-3)和(1-5)。圖2薄壁桿的扭轉(zhuǎn)實際工程上經(jīng)常遇到開口薄壁桿件,例如角鋼、槽鋼、工字鋼等,這些薄壁件其橫截面大都是由等寬的狹長
5、矩形組成。無論是直的還是曲的,根據(jù)薄膜比擬,只要狹長矩形具有相同的長度和寬度,則兩個扭桿的扭矩及其橫截面剪應(yīng)力沒有多大差別。一開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)圖3a1a2a1a1a3a2a1a3設(shè)及分別表示扭桿橫截面的第i個狹矩形的長度和寬度,Ti表示該矩形截面上承受的扭矩,T表示整個橫截面上的扭矩,?i代表該矩形長邊中點附近的剪應(yīng)力,為單位長度扭轉(zhuǎn)角。則由狹長矩形的結(jié)果,得(2-1)(2-2)由式(2-1)得(2-3)這個橫截面上的扭轉(zhuǎn)為(2-4)由式(2-3)和式(2-4)消去,得代回式(2-3)和式(2-4),我們得到值得注意的是:
6、由上述公式給出的狹矩形長邊中點的剪應(yīng)力已相當(dāng)精確,然而,由于應(yīng)力集中的存在,兩個狹矩形的連接處,可能存在遠大于此的局部剪應(yīng)力。(2-5)(2-6)1TTT(2-6)圖4(2-6)4(2-6)(2-6)TTT二閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)對于閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題,可以通過薄膜比擬法求得近似解答。如圖5所示,假想在薄桿橫截面的外邊界上張一張膜,保證薄膜外邊界的垂度為零,內(nèi)邊界處的垂度為常量。由于桿壁厚度很小,所以沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量。于是,在桿壁的厚度處,剪應(yīng)力的大小應(yīng)等于薄膜的斜率,即設(shè)外邊界所包圍面積的平均值(即薄壁桿
7、件截面中線所包圍的面積)為A,于是有(2-7)(2-8)其中,h為桿壁厚度薄膜的垂度。圖5由此得代入式(2-7)得可見,剪應(yīng)力與桿壁的厚度成反比,最大的剪應(yīng)力發(fā)生在桿壁最薄處。為了求出單位長度扭轉(zhuǎn)角,先求出桿橫截面中心線上的應(yīng)力環(huán)量,以A表示中心線所包圍的面積,于是有(2-9)(2-10)得如果桿壁為等厚度的,則其中,s為桿截面中心線的長度。若閉口的薄壁桿有凹角在凹角處有可能發(fā)生高度的應(yīng)力集中現(xiàn)象。比值和之間的關(guān)系,如圖6所示。其中為圓角半徑。圖6對于薄壁桿的橫截面有兩個孔的多連通域情況,如圖7所示,由于桿壁厚都很小,于是有
8、其中,h1和h2表示薄膜內(nèi)邊界s1和s2的高度。(2-11)圖7再分別對兩根中心閉合線ACBA和ABDA求應(yīng)力環(huán)量,有(2-13)求得扭矩也可以表示為(2-12)若、為常數(shù),則式(2-13)可變?yōu)榍蟮?2-14)(2-15)(2-16)例2兩個截面完全相同的變厚度薄壁桿如圖8所示,其中(a