奧數(shù)：第10講 雜題第05講

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1、第10講雜題第05講邏輯推理之二例1甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)5位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)．到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)．問(wèn)小強(qiáng)賽了幾盤(pán)?答案2盤(pán)．分析先從甲人手，這道題就可以比較輕松地推理出對(duì)局情況．詳解甲因?yàn)橘惲?盤(pán)，所以甲與其他每個(gè)人都賽了一場(chǎng)．而此時(shí)，丁只與甲賽了一場(chǎng)，不再與別人比賽．如果乙要賽3場(chǎng)，對(duì)手除了丁，他必須和丙、小強(qiáng)各賽一場(chǎng)．這樣我們得到了對(duì)屙隋勢(shì)圖10—1，5個(gè)人用5個(gè)點(diǎn)表示，兩人間比一盤(pán)就用一條線將兩人所代表的點(diǎn)連起來(lái)．此時(shí)，甲、乙、丙、丁分別賽了4、3、2、1盤(pán)．

2、所以，正確答案為：小強(qiáng)賽了2盤(pán)．評(píng)注本題比較簡(jiǎn)單，應(yīng)該快速準(zhǔn)確地做出正確答案．另一方面，對(duì)于推斷比賽情況的題目，就應(yīng)運(yùn)用點(diǎn)線圖的方法來(lái)解決．例2甲、乙、丙、丁4個(gè)隊(duì)參加足球循環(huán)賽，即每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)．現(xiàn)在甲、乙、丙的比賽情況如圖10—2所示．請(qǐng)由此確定甲與丁的比分、丙與丁的比分．答案甲與丁是3：2，丙與丁是3：4．分析本題做出答案應(yīng)分三步：第一步找出四隊(duì)的對(duì)陣形勢(shì)；第二步確定各場(chǎng)比賽的勝負(fù)關(guān)系；第三步求出每場(chǎng)比賽比分．詳解首先，根據(jù)甲、乙、丙三隊(duì)已賽場(chǎng)數(shù)及丁與甲、丙兩隊(duì)均有比賽確定對(duì)陣情勢(shì)．乙賽了3場(chǎng)，則對(duì)手為甲、丙、?。}

3、目所求為甲與丁、丙與丁比分，則丁與甲、丙都賽了兩場(chǎng)．由此得到對(duì)陣形勢(shì)，如圖10—3．然后，考慮各場(chǎng)比賽勝負(fù)關(guān)系．先考慮甲、乙間的這一場(chǎng)．顯然甲勝的比賽不是與乙的比賽。而是甲、丁間的比賽．甲、乙間以平局告終．那么，乙勝的2局分別是與丙與丁的比賽．而丙一場(chǎng)未勝，因此丙在與丁的比賽中輸?shù)簦虼?，得到各?chǎng)勝負(fù)關(guān)系圖10—4，其中“A隊(duì)-B隊(duì)”表示A隊(duì)勝了B隊(duì)，“A隊(duì)一B隊(duì)”表示兩隊(duì)比賽為平局．最后，考慮各場(chǎng)次的比分．乙隊(duì)進(jìn)球?yàn)?，失球數(shù)為0，戰(zhàn)績(jī)是二勝一平，則兩場(chǎng)勝利的比賽全是“1：0”的勝利，而平局為“0：0”．甲在與乙的比賽中是“0

4、：0”，總進(jìn)球數(shù)為3，失2球．所以，甲對(duì)丁的比賽為甲“3：2”戰(zhàn)勝?。谂c乙的比賽中失掉一個(gè)球，未進(jìn)球，總進(jìn)球數(shù)為3，失球數(shù)為5，所以丙丁之間的比賽是丁4：3勝出．這樣，各場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)如圖10—4所示．所以，甲與丁是3：2，丙與丁是3：4。評(píng)注本題解題的順序一定要注意．對(duì)于題目的條件也要相應(yīng)地分為三步來(lái)用，而不應(yīng)一下子全面處理．例3甲、乙、丙、丁4個(gè)隊(duì)舉行足球循球賽，即每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)．每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，平局各得1分．已知：①比賽結(jié)束后4個(gè)隊(duì)的得分都是奇數(shù)；·②甲隊(duì)總分超過(guò)其他各隊(duì)，名列第一；③乙隊(duì)恰有兩場(chǎng)平局

5、，并且其中一場(chǎng)是與丙隊(duì)比賽．那么丁隊(duì)得了多少分?答案3分．分析三場(chǎng)比賽后得分是是奇數(shù)，則每隊(duì)得分只能為1、3、5、7、9．得9分是3勝，7分是2勝1平，5分是1勝2平，3分是1勝2負(fù)或3平，1分是1平2負(fù)．這樣，再根據(jù)題目條件，就比較容易分析出題目答案了．詳解先考慮乙隊(duì)．根據(jù)條件③，乙隊(duì)是2平，所以為保證乙得分是奇數(shù)，乙得5分，2平1勝．再考慮甲隊(duì)．乙隊(duì)2平1勝，所以甲未勝乙，因而甲不是9分，而甲又比乙得分高，所以甲是2勝1平的7分，甲、乙之間是平局．這樣甲是與乙平，勝了丙、?。灰沂桥c甲、丙平，勝了?。F(xiàn)在丙是1平1負(fù)，得1分；

6、丁是2負(fù)，得0分．還剩丙、丁間的比賽沒(méi)有確定勝負(fù)．為保證丙、丁得分均為奇數(shù)，只能丙負(fù)于?。@樣，甲、乙、丙、丁的勝負(fù)關(guān)系如圖10-5所示．甲、乙、丙、丁分別得7分、5分、1分、3分．所以，本題答案為丁隊(duì)得3分．評(píng)注本題的關(guān)鍵是一個(gè)隊(duì)得奇數(shù)的話，所賽3場(chǎng)的勝負(fù)關(guān)系就被限制在一個(gè)小范圍里了．再加上乙的得分很高，而甲又是第一，由此得出本題答案．例4已知A、B、C、D、E、F這6位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)爭(zhēng)賽，其中有兩人得了滿分，但不知是哪兩個(gè)人．在同學(xué)們的猜測(cè)中，有下列5種說(shuō)法：①A和C；②B和F；③B和E；④A和F；⑤A和D．但是老師說(shuō)，在這

7、5種說(shuō)法中，有4種猜對(duì)了一半，有一種都猜錯(cuò)了．那么是哪兩位同學(xué)得滿分?答案A，E．分析5種說(shuō)法中，A出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以我們可以對(duì)A是否得了滿分進(jìn)行分析．詳解如果A沒(méi)有得滿分，則①、②、⑤不可能全是猜對(duì)了一半，否則C、D、F均為滿分．所以猜錯(cuò)的說(shuō)法一定在①、④、⑤當(dāng)中，但是，兩個(gè)滿分也一定在C、D、F中．可這樣，③中的B、E就也猜錯(cuò)了．這時(shí)，有兩種說(shuō)法都猜錯(cuò)了．這種情況不成立，因此A一定得了滿分．當(dāng)A得了滿分時(shí)，C、D、F都沒(méi)有得滿分，則錯(cuò)了的說(shuō)法只能是②和③，而另一個(gè)得滿分的是：B、E之一．這就說(shuō)明③是猜對(duì)了一半，②猜錯(cuò)了．所

8、以，另一個(gè)得滿分的是E．評(píng)注本題可以對(duì)A進(jìn)行分析，也可對(duì)B進(jìn)行類似的分析．另一方面，6個(gè)人中取兩個(gè)人的方法為：所以，可以對(duì)15種情況一一驗(yàn)證，來(lái)找出惟一符合題目條件的一對(duì)．有興趣的讀者可以自己試一試．例5一次考試共有10道判斷題，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．