奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第二講 加法原理

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1、第二講加法原理　　生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決．　　例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？　　分析這個問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．　　在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．

2、在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就可以完成．并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)．　　一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法，…，第k類方法中有mk種不同的做法，則完成這件事共有　　N=m1+m2+…+mk　　種不同的方法．　　這就是加法原理．例1學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書．小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本．那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？　　分析在這個問題中，小明選一本書有三類方法．即

3、要么選外語書，要么選科技書，要么選小說．所以，是應(yīng)用加法原理的問題．　　解：小明借一本書共有：　　150+200+100=450（種）　　不同的選法．例2一個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色各不相同．　　問：①從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？　　②從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？　　分析①中，從兩個口袋中只需取一個小球，則這個小球要么從第一個口袋中取，要么從第二個口袋中取，共有兩大類方法．所以是加法原理的問題．　?、谥?，要從兩個口袋中各取一個小球，則可看成先從第一個口袋中取一個，再從第二個口袋中取一個，分兩步完成，是乘法原理

4、的問題．　　解：①從兩個口袋中任取一個小球共有　　3+8=11（種），　　不同的取法．　?、趶膬蓚€口袋中各取一個小球共有　　3×8=24（種）　　不同的取法．　　補充說明：由本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干個步驟，一步接一步地去做才能完成這件事；加法原理中，做完一件事可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可以完成這件事．　　事實上，往往有許多事情是有幾大類方法來做的，而每一類方法又要由幾步來完成，這就要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個原理．例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有

5、3條路可走．那么，從甲地到丙地共有多少種走法？　　分析從甲地到丙地共有兩大類不同的走法．　　第一類，由甲地途經(jīng)乙地到丙地．這時，要分兩步走，第一步從甲地到乙地，有4種走法；第二步從乙地到丙地共2種走法，所以由乘法原理，這時共有4×2=8種不同的走法．　　第二類，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法．　　解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：　　4×2+3=11（種）　　不同的走法．例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點出發(fā)沿著線段爬到B點，要求任何點和線段不可重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲有多少種不同的走法？　　　分析從A點到B點有兩類走法，一類是從A點先經(jīng)過C點到B點，一類是從A點先經(jīng)過

6、D點到B點．兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，都要用乘法原理，而最后計算從A到B的全部走法時，只要用加法原理求和即可．　　解：從A點先經(jīng)過C到B點共有：　　1×3=3（種）　　不同的走法．　　從A點先經(jīng)過D到B點共有：　　2×3=6（種）　　不同的走法．　　所以，從A點到B點共有：　　3+6=9（種）　　不同的走法．例5有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？　　分析要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要

7、分兩大類來考慮．　　第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù)．由于放兩個正方體可認(rèn)為是一個一個地放．放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有3×3=9種不同的情形．　　第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3×3=9種不同情形．　　最后再由加法原理即可求解．　　解：兩個正方體向上的一面同為奇數(shù)共有　　3×3=9（種）　　不同的情形；　　兩個正方體向上的一面同為偶數(shù)共有　　3×3=9（種）　　不同的情形