奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第十五講 綜合題選講

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1、第十五講綜合題選講　　小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽綜合題，主要包括以下幾個(gè)方面：　　①邏輯關(guān)系較復(fù)雜的問題；　?、跀?shù)與形相結(jié)合的問題；　?、圯^復(fù)雜的應(yīng)用題；　?、茌^靈活的組合、搭配問題；　　⑤與“最多”、“最少”有關(guān)的問題。　　解答小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的綜合題，首先要能熟練、正確解答有關(guān)的基本題，同時(shí)要認(rèn)真讀題，準(zhǔn)確理解題意，在分析題目條件，設(shè)計(jì)解題程序上下功夫。例1一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱兩端上所標(biāo)的二數(shù)之和寫在這條棱的中點(diǎn)，問：在棱的中點(diǎn)最少能標(biāo)出幾種數(shù)值？分析對(duì)于1、2、3、4、5

2、、6、7、8這些數(shù)中兩兩之和，有下列情形：　　有4種形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；　　有3種形成8的和：1+7=2+6=3+5；　　有3種形成10的和：2+8=3+7=4+6；　　有3種形成7的和：1+6=2+5=3+4；　　有3種形成11的和：3+8=4+7=5+6；　　有2種形成6的和：1+5=2+4；　　有2種形成5的和：1+4=2+3；　　有2種形成12的和：4+8=5+7；　　有2種形成13的和：5+8=6+7；　　此外還有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一種?！　?/p>

3、首先指出棱的中點(diǎn)處不可能僅出現(xiàn)3種數(shù)，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的數(shù)，如果只用其中3個(gè)數(shù)（標(biāo)在棱的中點(diǎn)處），那么這三個(gè)數(shù)不能寫成共12種不同形式的（取自于1、2、…、8之中的兩數(shù)）和，而正方體棱數(shù)有12個(gè)?！　≡僬f明，棱的中點(diǎn)處不可能只標(biāo)有4種不同數(shù)值，為證明這一點(diǎn)，可以分下列情況說明?！　∪绻?2條棱上有3個(gè)“7”、3個(gè)“8”、3個(gè)“10”、3個(gè)“11”，那么在正方體頂點(diǎn)處要出現(xiàn)4次“6”進(jìn)行運(yùn)算.這是不可能.因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)只參加3次加法運(yùn)算。　　如果在1

4、2條棱上有3個(gè)“9”，此外，必定還有7、8、10、11中的某三個(gè)數(shù)字（各三次），那么棱上數(shù)之和只能是　?。?+7+8+10）×3=102，　?。?+8+10+11）×3=114，　?。?+7+10+11）×3=111，　　（9+7+8+11）×3=105。　　它們都與棱上所有數(shù)之和應(yīng)當(dāng)是（1+2+…+8）×3=108矛盾.這說明棱上的數(shù)不可能是3個(gè)“9”以及7、8、10、11中某3個(gè)各出現(xiàn)3次。　　如果在12條棱的中點(diǎn)出現(xiàn)4個(gè)“9”以及另外三種數(shù)，那么另外三種數(shù)應(yīng)各出現(xiàn)3、3、2次.出現(xiàn)3次的只能是7、8、1

5、0、11中的兩個(gè).出現(xiàn)兩次的則是5、6、12、13中的一個(gè)或者是7、8、10、11中未被用了3次的兩個(gè)中的一個(gè).設(shè)出現(xiàn)兩次的棱的中點(diǎn)數(shù)為a，出現(xiàn)3次的為b或c，則因?yàn)椤　?×9+3×（b+c）+2a=108，　　所以b+c必須為偶數(shù).在7、8、10、11中取兩數(shù)b、c，使其和為偶數(shù)，只有7、11及8、10這兩種可能.無論哪種情形，都有b+c=18，因此2a=108-36-3×18=18，a=9.與12條棱有4個(gè)9矛盾.這說明上述情況不能出現(xiàn)。　　綜上所述，棱中點(diǎn)不可能僅有四種不同數(shù)?！　±庵悬c(diǎn)可以有五種不同數(shù)

6、值，這可由右圖看出：棱中點(diǎn)共出現(xiàn)4個(gè)“9”、3個(gè)“10”、3個(gè)“8”、1個(gè)“6”、1個(gè)“12”?！　∵@說明棱的中點(diǎn)最少能標(biāo)出5種不同數(shù)值。例2一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于另外兩個(gè)數(shù)之和.在滿足要求的所有可能的數(shù)組中，尋找出使得組內(nèi)各數(shù)之和最大及最小的數(shù)組，并求這組數(shù)之和的最大值、最小值。分析很自然猜想并容易驗(yàn)證數(shù)組1，2，3，…，24，25符合題目要求，顯然這個(gè)數(shù)組的和是最大的，這個(gè)最大的和是1+2+3+…+24+2

7、5=325。　　困難在于搜尋最小的數(shù)組?！　“褦?shù)組中的數(shù)由小到大排起來，容易看出：　　1后邊的數(shù)一定是2；2后邊可以是3，也可以是4；3后邊可能是4、5、6；4后邊可能是5、6、8.把它們列出來就是　　1，2，3，4，…，25；　　1，2，3，5，…，25；　　1，2，3，6，…，25；　　1，2，4，5，…，25；　　1，2，4，6，…，25；　　1，2，4，8，…，25?！　?5是奇數(shù)，它只能是另外兩個(gè)數(shù)之和，容易驗(yàn)證在上述數(shù)列的“…”處不能只加入一個(gè)數(shù)，也就是說，在上述六種數(shù)列的每個(gè)“…”中，至少要再加

8、入兩個(gè)數(shù).而且，還推知后加入的數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和不小于25.理由是，如果后加入的任意兩個(gè)數(shù)之和都小于25，那么就不可能得到最后的25這個(gè)數(shù)?！　「鶕?jù)以上理由，我們應(yīng)當(dāng)先考慮1，2，3，4，…，25這一列數(shù).看看是否能只加入兩個(gè)數(shù)，且加入的兩個(gè)數(shù)之和是25?！　?5=5+20=6+19=7+18=8+17=9+16　　=10+15=11+14=12+13。　　在1，2，3，4，…，25中的