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《奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第十五講數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題選講》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第十五講數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題選講例1計(jì)算：1+2+22+23+…+29+210分析這是首項(xiàng)系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問(wèn)題，可采用“錯(cuò)位相減法”求解．解：設(shè)S=1+2+22+23+…+29+210（1） 用2乘以上式的兩邊可得 2S=2+22+23+…=210+211（2） 用（2）式減去（1）式的兩邊，得 S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+…+29+210） =211-1 =2048-1 =2047．例2計(jì)算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0
2、.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10分析這個(gè)和式中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的乘積，把各乘積的前一個(gè)數(shù)依次排在一起構(gòu)成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，把各乘積的后一個(gè)數(shù)依次排在一起構(gòu)成一個(gè)公比是0.5的等比數(shù)列，這種數(shù)列通常稱(chēng)為混合數(shù)列，它的求和方法也采用“錯(cuò)位相減法”．解：設(shè)S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10（1） 用2乘以上式的兩邊可得 2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0
3、.5）9（2） 用（2）式減去（1）式的兩邊，得 S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10 =1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10 再設(shè)A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3） 用2乘以（3）式的兩邊可得： 2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4） 用（4）式減去（3）式兩邊，得 A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.9
4、9609375 于是，有： S=1+1.99609375-19×（0.5）10 =2.99609375-19×0.0009765625 =2.99609375-0.0185546875 =2.9775390625．例3計(jì)算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102解：利用裂項(xiàng)法，有 11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4， 12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4， 13×14×
5、15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4， … 100×101×102 =（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4， 把這90個(gè)等式相加，得 原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4 =25×101×102×103-10×11×3×13 =26527650-4290 =26523360．例4規(guī)定a*b=ab（其中a、b都是自然數(shù)），分別計(jì)算（5*3）*2和5*（3*2）．解：由5*3=53=125 125*
6、2=1252=15625， 即有 ?。?*3）*2=15625 又由 3*2=32=9， 5*9=59=1953125 即有 5*（3*2）=1953125． 說(shuō)明：規(guī)定新的代數(shù)運(yùn)算是一類(lèi)以近世代數(shù)為基礎(chǔ)的新題型，近年來(lái)多次出現(xiàn)于國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中．解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于牢記新運(yùn)算的定義，在計(jì)算時(shí)嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值，遇到括號(hào)要優(yōu)先運(yùn)算． 值得注意的是，有些規(guī)定的新運(yùn)算未必滿足交換律或結(jié)合律．譬如，本例實(shí)質(zhì)上是乘方運(yùn)算，由計(jì)算結(jié)果可知 ?。?*3）*2≠5*（3*2） 這就是
7、說(shuō)，本例規(guī)定的運(yùn)算不滿足結(jié)合律．又如，運(yùn)算a△b=3×a-b÷2就不滿足交換律，事實(shí)上 1△2=1×3-2÷2=3-l=2， 2△l=2×3-1÷2=6-0.5-5.5， 即 1△2≠2△1． 并且 =（a×b+a+b）×c+（a×b+a+b）+c =a×b×c+a×c+b×c+a×b+a+b+c， =a×（b×c+b+c）+a+（b×c+b+c） =a×b×c+a×b+a×c+a+b×c+b+c， 從而有 =5+7=12， 因此 例5互為反序①的兩
8、個(gè)自然數(shù)之積是92565，求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)．注釋?zhuān)孩倮?204與4021是互為反序的自然數(shù)，而120與21不是互為反序的數(shù)．解：①這兩個(gè)自然數(shù)必是三位數(shù)． 首先，這兩個(gè)自然數(shù)不能是小于100的數(shù)，因?yàn)樾∮?00的兩個(gè)最大的反序數(shù)是99和99，而99×99＜92565． 其次，這兩個(gè)自然數(shù)也不能大于998，因?yàn)榇笥?98的兩個(gè)最小的反序數(shù)是999與999，而999×999＞92565． 由于a×c的個(gè)位數(shù)字是5，可以推得： a×c=1×5或3×5或
