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《高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布2.3離散型隨機變量的均值與方差2.3.2離散型隨機變量的方差課堂導學案新人教a版選修2》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.3.2 離散型隨機變量的方差課堂導學三點剖析一、隨機變量的方差與標準差的求法【例1】設X是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求EX，DX.X-101P1-2qq2思路分析：依題意，先應按分布列的性質(zhì)，求出q的數(shù)值后，再計算出EX與DX.解析：由于離散型隨機變量的分布列滿足(1)pi≥0,i=1,2,3,…;(2)p1+p2+…+pn+…=1.故解得q=1-故X的分布列為X-101P∴EX=(-1)×+0×(-1)+1×()=-+（-）=1-DX=［-1-（1-)］2×+（1-）2×（-1）+［
2、1-（1-)］2×()=（-2）2×+（-1）3+2()=-1溫馨提示解本題時，要防止機械地套用均值與方差的計算公式，即EX=（-1）×+0×(1-2q)+1×q2=q2-;DX=［-1-(q2-)］2×+(q2-)2×(1-2q)+［1-(q2-)］2×q2這是由于忽略了隨機變量分布列的性質(zhì)所出現(xiàn)的誤解，求離散型隨機變量的均值與方差，應明確隨機變量的分布列，若分布列中的概率值是待定常數(shù)時，應先求出待定常數(shù)后，再求其均值與方差.二、兩點分布、二項分布的方差【例2】設一次試驗的成功率為p，進行100次獨
3、立重復試驗，求當p為何值時，成功次數(shù)的標準差的值最大？并求其最大值.思路分析：根據(jù)題意，可知本題主要考查服從二項分布的隨機變量的標準差公式，所以解本題的關鍵就是找出幾個變量之間的關系.解：設成功次數(shù)為隨機變量X，由題意可知X—B（100，p），那么σX=，因為DX=100p(1-p)=100p-100p2（0≤p≤1）把上式看作一個以p為自變量的一元二次函數(shù)，易知當p=時，DX有最大值25.所以的最大值為5，即當p=時，成功次數(shù)的標準差的最大值為5.溫馨提示要求成功次數(shù)標準差的最大值，就需先建立標準差
4、關于變量p的函數(shù)關系式，另外要注意利用分布列的性質(zhì)求出定義域0≤p≤1.三、方差的應用【例3】海關大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時誤差分別為X1、X2（單位：s），其分布列如下：X1-2-1012P0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1根據(jù)這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量.解：∵EX1=0,EX2=0∴EX1=EX2∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(
5、2-0)2×0.05=0.5DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2∴DX1＜DX2由上可知，A面大鐘的質(zhì)量較好.溫馨提示隨機變量X的方差的意義在于描述隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況.標準差σX=則體現(xiàn)隨機變量取值與其均值的偏差，在實際問題中，若有兩個隨機變量X1、X2，且EX1=EX2或EX1與EX2比較接近時，我們常用DX1與DX2來比較這兩個隨機變量，方差值大的，則表明X較為離散，反之則表明X較為集中.
6、同樣，標準差的值較大，則標明X與其均值的偏差較大，反之，則表明X與其均值的偏差較小.各個擊破【類題演練1】若隨機事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為2a.隨機變量ξ表示在一次試驗中發(fā)生的次數(shù).求方差Dξ的最值.解析：由題意得ξ的分布列為ξ01P1-2a2a∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a=(1-2a)2a(2a+1-2a)=2a(1-2a)=-4［a-］2+由分布列的性質(zhì)得0≤1-2a≤1且0≤2a≤1∴0≤a≤∴當a=時Dξ最大值為；當a=0或
7、時Dξ的最小值為0.【變式提升1】某射擊手進行射擊練習，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進入下一組的練習，否則一直打完5發(fā)子彈才能進入下一組練習，若該射手在某組練習中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習中耗用子彈數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ與方差Dξ（保留兩位小數(shù)）.解析：該組練習耗用的子彈數(shù)ξ為隨機變量，ξ可以取值為1，2，3，4，5.ξ≈1表示一發(fā)即中，故概率為P（ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故P（ξ=2）=（1-0.8）×0.8
8、=0.16；ξ=3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故P（ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三發(fā)未中，第四發(fā)命中，故P（ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.0064；ξ=5，表示第一、二、三、四發(fā)未中，第五發(fā)命中，故P（ξ=5）=（1-0.8）4=0.0016，因此，它的分布列為ξ12345P0.80.160.0320.00640.0016Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.0064+5×0.0
