高考數(shù)學(xué)競賽 集合與簡易邏輯教案講義（1）

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1、第一章集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個(gè)對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)}，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義2子集：對

2、于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3交集，定義4并集，定義5補(bǔ)集，若稱為A在I中的補(bǔ)集。定義6差集，。定義7集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理

3、2加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，…，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定理3乘法原理：做一件事分個(gè)步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法與例題1．利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例1設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）若，則2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則A=B。例2設(shè)A，B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足，求集合M（用A，B表示）。3．分類討論思想的應(yīng)用。例3，若，求4．

4、計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例4集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的個(gè)數(shù)。5．配對方法。例5給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值。6．競賽常用方法與例問題。定理4容斥原理；用表示集合A的元素個(gè)數(shù)，則，需要xy此結(jié)論可以推廣到個(gè)集合的情況，即定義8集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個(gè)-劃分。定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6抽屜原理：將個(gè)元素放入個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放

5、有不多于個(gè)元素；將無窮多個(gè)元素放入個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無窮多個(gè)元素。例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。例7S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個(gè)元素？例8求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足：例9設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個(gè)數(shù)，B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值。例10集合{1，2，…，3n}可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．給定三元集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。2．若集合中只有一個(gè)元素

6、，則=___________。3．集合的非空真子集有___________個(gè)。4．已知集合，若，則由滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合P=___________。5．已知，且，則常數(shù)的取值范圍是___________。6．若非空集合S滿足，且若，則，那么符合要求的集合S有___________個(gè)。7．集合之間的關(guān)系是___________。8．若集合，其中，且，若，則A中元素之和是___________。9．集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為___________。10．集合，則___________。11．已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1））若，則。如果，S中至少含有多少個(gè)元素？說明理

7、由。12．已知，又C為單元素集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1．已知集合，且A=B，則___________，___________。2．，則___________。3．已知集合，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。4．若實(shí)數(shù)為常數(shù)，且___________。5．集合，若，則___________。6．集合，則中的最小元素是___________。7．集合，且A=B，則___________。8．已知集合，且，則的取值范圍是___________。