數(shù)學(xué)競賽教案講義(1)——集合與簡易邏輯

《數(shù)學(xué)競賽教案講義(1)——集合與簡易邏輯》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、第一章集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1—?般地，一組確定的、互界的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個(gè)對彖稱為元素，用小寫字母來表示，元素兀在集合人中，稱兀屬于A,記為xGA,否則稱兀不屬于記作A。例如，通常用N,Z,Q,B,Q"■分別表示口然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元索的集合稱為空集，川0來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法:將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表示集合的方法，如⑴2,3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方

2、法。例如{有理數(shù)},{xx>0}分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義2子集：對于兩個(gè)集合人與B,如果集合人中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為Ag3,例如NuZ。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果&是B的了集，B也是4的了集，則稱人與B相等。如果A是B的了集，而中存在元素不屬于A,則人叫3的真子集。定義3交集，ACB={xxGA.MxeB}.定義4并集，AjB={x兀wA或乂wB}.定義5補(bǔ)集，若人匸/,則C]A={x

3、xw/,且兀e4}稱為4在/中的補(bǔ)集。定義6差集，AB={xxeA,1LXB}o定義7集

4、合{x

5、^z

6、（AU〃）.【證明】這里僅證（1）、（3）,其余由讀者白己完成。（1）若xwAr）（〃UC）,則xwA,且xwB或xwC,所以xG（AAB）或xe（AAC）,即xe(An^)U(AnC)；反之，xG(AA

7、B)U(AnC),則xe(AAfi)或xw(AnC),即xeARxeB或xwC,即XGA且兀w(BUC),即兀wA"(BUC).(3)若x€CjAUCjB，則xGC]A或xwC]B，所以xA或兀，所以x(AAB),又XG/,所以xeC}(AAB)，即C4UGBuG(ACB),反Z也有Cj(AguCiAUGB.定理2加法原理：做一件事有〃類辦法，第一類辦法中有加

8、種不同的方法，第二類辦法中冇加2種不同的方法，…，笫〃類辦法中有加”種不同的方法，那么完成這件事一共有N=+?+???+"?“種不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分斤個(gè)步驟

9、，第一步有“種不同的方法，笫二步有加2種不同的方法，…，第斤步有九種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m{-m2mn種不同的方法。二、方法與例題1.利用集合小元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。22例1設(shè)M={aa=x-y,x,yeZ}f求證：(1)2k-IeMeZ)；(2)4R—2wM,("Z)；(3)若pGM,qGM,則pqeM.2.利用子集的定義證明集合相等，先證A^B，再證B^A，則A=B.例2設(shè)A,B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M滿足AnM=BnM=An5AUBUM=AUB，求集合M(用4B表示)。3.分類討論思想的應(yīng)用。22(列3

10、A={xx一3兀+2=0},B={兀兀2-ax+a-l=Q},C-{xx-tnx+2=0},若AjB=A,ACC=C,求a,m.4.計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例4集合4,B,C是/二｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,0｝的子集，（1）若AJB=I,求有序集合對（4B）的個(gè)數(shù)；（2）求/的非空真子集的個(gè)數(shù)。5.配對方法。例5給定集合/=｛1,2,3,???,/!｝的￡個(gè)子集：岀，人2，???，入，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加/的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求比的值。6.競賽常用方法與例問題。定理4容斥原理；用

11、內(nèi)表示集

12、合A的元素個(gè)數(shù)，則

13、AUB

14、=

15、A

16、+

17、B

18、_

19、ADB

20、,AUBUC

21、=

22、A

23、+

24、B

25、+

26、C

27、-

28、AnB

29、-

30、Anc

31、-

32、Bnc

33、+

34、AnBnc

35、,此結(jié)論可以推廣到〃個(gè)集合的情況，即工n〃__UA=X

36、A

37、_X

38、AnS4gM-1)“HAl

39、+/=!/=!&j定義8集合的劃分：若AU生U…且AA7=0(1)個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于加+1個(gè)元素，也必有

40、一個(gè)抽屜放有不多于加個(gè)元素；將無窮多個(gè)元素放入Q個(gè)抽屜必有一?個(gè)抽屜放有無窮多個(gè)元素。例6求1,2,3,…，100中不能被2,3,5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。例7S是集合{1,2,2004}的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或7