多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題與答案

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1、第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用A題1、填空題1）設(shè)，，則2）設(shè)，且當(dāng)時，，則3）設(shè)，則4）設(shè)，若已知：當(dāng)時，，則5）設(shè)，由所確定，則6）設(shè)，則在點(diǎn)的法線方程為7）曲面上點(diǎn)處的切平面方程為8）設(shè)，則在沿方向的方向?qū)?shù)為2、下列函數(shù)的定義域并圖示1)2)3)261、求下列各極限1)2)3)2、問函數(shù)在何處間斷.3、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1)2)263)4)1、曲線在點(diǎn)處的切線對于軸的傾角是多少?2、設(shè)，求.3、求下列函數(shù)的,,1)2)261、求下列函數(shù)的全微分1)2)10、求函數(shù)當(dāng)，，，時的全增量和全微分.11、計(jì)算的近似值.

2、12、已知邊長為與的矩形，如果邊增加而邊減少，問這個矩形的對角線的近似變化怎樣？2613、設(shè)，而，，求，.14、設(shè)，而，，求.15、設(shè)，而，，求.16、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）1)2)17、設(shè)，求，.2618、設(shè)，其中就有二階導(dǎo)數(shù)，求，，.19、求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）1)2)，其中3)20、設(shè)，求及.2621、設(shè)由方程確定，求.22、設(shè)，，都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求.23、設(shè)，計(jì)算.24、求下列方程組所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)1)設(shè)求，2)設(shè)求，，，2625、

3、求曲線，在點(diǎn)處的切線和法線方程.26、求出曲線，，上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面.27、求橢球面上平行于平面的切平面方程.28、求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).29、求函數(shù)沿曲線，，在點(diǎn)處的切線正方向（對應(yīng)于增大的方向）的方向?qū)?shù).30、設(shè)，求及.2631、問函數(shù)在點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值.32、求函數(shù)的極值.33、求函數(shù)在適合條件下的極大值.34、欲選一個無蓋的長方形水池，已知底部造價為每平方米元，側(cè)面造價為每平方米元，現(xiàn)用元造一個容積最大的水池，求它的尺寸.35、要造一個容積

4、等于定數(shù)的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面積最小.36、在平面上求一點(diǎn)，使它到，及三直線的距離平方之和為最小.26B題1、填空題1)設(shè)，其定義域?yàn)?)設(shè)，則3)已知函數(shù)，則4)函數(shù)，則5)在點(diǎn)處可微分是在該點(diǎn)連續(xù)的的條件，在點(diǎn)處連續(xù)是在該點(diǎn)可微分的的條件6)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點(diǎn)可微分的條件7)由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分為8)設(shè)，則在點(diǎn)處的值為9)設(shè)，，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則10)由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量為11)曲面上任一點(diǎn)的切平面在坐標(biāo)軸上的截距平方和為

5、12)設(shè)在點(diǎn)處的梯度13)設(shè)，則在沿方向的方向?qū)?shù)為261、求函數(shù)的定義域，并求.2、證明：.3、證明下列極限不存在1)2)4、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1)2)261)1、設(shè)，求及.2、設(shè)，而，，驗(yàn)證：.3、設(shè)，而，為可導(dǎo)函數(shù)，證明：.4、設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證：.2610、設(shè)，為連續(xù)可微函數(shù)，，，求.11、設(shè)，其中函數(shù)二階可導(dǎo)，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求.12、設(shè)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而，，證明：及.13、設(shè)，，，試求和.14、在方程中，函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令，求以，為自變量的新方程.2615、設(shè)，求.16、設(shè)具有連續(xù)

6、偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)，滿足.17、設(shè)，其中，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和.18、求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.19、試證曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為一常數(shù).20、求函數(shù)在球面上點(diǎn)26處沿球面在該點(diǎn)的外法線方向的方向?qū)?shù).21、設(shè)，求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定角，使這個導(dǎo)數(shù)有：a)最大值b)最小值c)等于22、證明：曲面上任意點(diǎn)處的切平面與直線平行（，為常數(shù)）.23、求平面的三截距之積在條件之下的最小值.24、經(jīng)過的所有的平面中，哪一個平面與坐標(biāo)面圍成的立體體積最??？最小體積是多少

7、？2625、拋物面被平面截成一橢圓，求原點(diǎn)到這個橢圓的最長與最短距離.C題1、討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)存在性，可微性.2、設(shè)，求及.3、設(shè)由方程所確定，求，及.4、設(shè)由方程所確定，求，.5、設(shè)，而是由方程所確定的，的函數(shù)，其中，都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明：.6、設(shè)，，，其中，都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求.7、設(shè)變換可把方程轉(zhuǎn)化為，求常數(shù).8、求橢球面上某點(diǎn)處的切平面的方程，使過已知直線：26.9、求函數(shù)在區(qū)域的最大值，最小值.10、求旋轉(zhuǎn)橢球面在第一卦限部分上的點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距平方和最

8、小.第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用習(xí)題答案A1、填空題1)2）3）4）5）6）7)8）2、下列函數(shù)的定義域并圖示1）2）3）3、1）2）3）4、5、1）,2）,3）,4）,,6、7、8、1）,,262）,,9、1）2）10、，11、12、13、，14、15、16、1）,2）,,17、,18、，，19、1）,2）3）2620、,21、22、23、2